2024年2月19日发(作者：汗雪风)

§3.3 导数与函数的极值、最值

考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．

1．函数的极值与导数

f′(x0)＝0

条件

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0

x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

极值

极值点

2.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

微思考

1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？

提示 必要不充分．

2．函数的极大值一定大于极小值吗？

提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．

f(x0)为极大值

x0为极大值点

f(x0)为极小值

x0为极小值点

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )

(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )

(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )

(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )

题组二 教材改编

2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 A

解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．

3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．

答案 ln x

1解析 构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极x大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x

4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．

答案

23a

27a解析 容积V＝(a－2x)2x,0

27题组三 易错自纠

5．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－6]∪[6，＋∞)

B．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

C．(－6，6)

D．[－6，6]

答案 B

解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，

由题意知f′(x)有变号零点，

∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0，

解得a>6或a<－6.

16．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.

3答案 4

解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

题型一 利用导数求函数的极值问题

命题点1 根据函数图象判断极值

例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．f(x)有两个极值点

B．f(0)为函数的极大值

C．f(x)有两个极小值

D．f(－1)为f(x)的极小值

答案 BC

解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，

∴f′(x)<0，

当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，

当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，

在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．

故AD错误，BC正确．

命题点2 求已知函数的极值

例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．

解 因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，

2a2x2－a所以f′(x)＝2x－＝.

xx①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．

所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f′(x)

f(x)

所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2aln a＝a－1－aln a．无极大值．

综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－aln a，无极大值．

命题点3 已知极值(点)求参数

例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.

答案 11

解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

f′－1＝0，由题意得

f－1＝0，a＝1，a＝2，解得或

b＝3b＝9，(0，a)

－

↘

a

0

极小值

(a，＋∞)

＋

↗

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，

∴f(x)在R上单调递增，

∴f(x)无极值，

所以a＝1，b＝3不符合题意，

当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．

∴a＋b＝11.

(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

10， 答案

2解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝1＋ln x－2ax.

由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，

1＋ln x即2a＝有两个不相等的实数根，

x

1＋ln x－ln x令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝2.

xx当00；当x>1时，φ′(x)<0，

∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

且φ(1)＝1，

当x→0时，φ(x)→－∞，

当x→＋∞时，φ(x)→0，

1则0<2a<1，即0

2思维升华 函数极值的两类热点问题

(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域．

②求导数f′(x)．

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1 (1)(2020·滨州模拟)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( )

A．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)

答案 D

解析 f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.

令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.

设g(x)＝(x－1)(x－a)．

①当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．

②当a>1时，当x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；

当1

∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不符合题意．

③当a<1时，当x>1或x0，

当a

所以x＝1是f(x)的极小值点，符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．

(2)若函数f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数a的取值范围是________．

B．(－1，＋∞)

D．(－∞，1)

1－∞， 答案

8解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

a2x2－x＋af′(x)＝2x－1＋＝，

xx由题意知y＝f′(x)有变号零点，

令2x2－x＋a＝0，

即a＝－2x2＋x(x>0)，

11x－2＋(x>0)， 令φ(x)＝－2x2＋x＝－2481其图象如图所示，故a<.

8

题型二 利用导数求函数的最值

例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．

(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；

(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．

解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，

2x－1x－11∴g′(x)＝＋2x－3＝，

xx∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，

∴g(x)在[1，e]上单调递增，

∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.

(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，

2x2－a＋2x＋aag′(x)＝＋2x－(a＋2)＝

xx＝2x－ax－1.

xa①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；

2aaa，e上单调递增，a＝aln

a－1，上单调递减，②当1<

4

a③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.

2－a－1，a≤2，a1综上，h(a)＝aln

2－4a－a，2

思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，

11－xf′(x)＝－1＋＝，

xx令f′(x)＝0，得x＝1.

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

∴f(x)max＝f(1)＝－1.

∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.

111，＋∞. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈xxe1①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，

e∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．

111②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0

exa11令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－

xa110，－上单调递增，在－，e上单调递减， 从而f(x)在aa

11－＝－1＋ln－. ∴f(x)max＝f

aa11－＝－3，得ln－＝－2， 令－1＋lnaa即a＝－e2.

1∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．

e故实数a的值为－e2.

课时精练

1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )

A．x＝1

C．x＝1或－1或0

答案 C

解析 f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1.

x2．函数y＝x在[0,2]上的最大值是( )

e121A. B.2 C．0 D.

ee2e答案 A

1－x解析 易知y′＝x，x∈[0,2]，

e令y′>0，得0≤x<1，

令y′<0，得1

xx1所以函数y＝x在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝x在[0,2]上的最大值是，故eee选A.

3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )

A．2

C．3＋ln 2

答案 B

2解析 由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解x5B．－

2D．－2＋2ln 2

B．x＝－1

D．x＝0

1得a＝，

2x－1x－212∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，

2xx∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

15∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.

2224．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x2等于( )

24816A. B. C. D.

3333答案 C

解析 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，222x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2328＝4－2×＝.

335．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )

A．－3是函数y＝f(x)的极值点

B．－1是函数y＝f(x)的最小值点

C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增

D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零

答案 BD

解析 根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点，

∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，

∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．

故错误的命题为BD.

x2＋x－16．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )

ex

A．函数f(x)存在两个不同的零点

B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C．当－e

5D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝2，则t的最小值为2

e答案 ABC

解析 由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，

－1±5∴x＝，故A正确．

2x2－x－2x＋1x－2f′(x)＝－＝－，

xeex当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，

当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，

∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．

5又f(－1)＝－e，f(2)＝2，

e且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，

∴f(x)的图象如图所示，

由图知C正确，D不正确．

7．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________．

答案 1＋ln 2

解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

12x－1f′(x)＝2－＝，

xx1当0

21当x>时，f′(x)>0.

2110，上单调递减，在，＋∞上单调递增， ∴f(x)在2211∴f(x)min＝f

＝1－ln ＝1＋ln 2.

228．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为______________．

33答案

－∞，－∪，＋∞

22解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，

则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，

故Δ＝(－4c)2－12>0，

解得c>33或c<－.

22所以实数c的取值范围为－∞，－33∪，＋∞.

22119．已知函数f(x)＝sin x－x，x∈[0，π]，cos x0＝，x0∈[0，π]．

33①f(x)的最大值为f(x0)；

②f(x)的最小值为f(x0)；

③f(x)在[0，x0]上是减函数；

④f(x0)为f(x)的极大值．

那么上面命题中真命题的序号是________．

答案 ①④

11解析 f′(x)＝cos x－，由f′(x)＝0，得cos x＝，即x＝x0，因为x0∈[0，π]，当0≤x0；当x0

10．已知不等式ex－1≥kx＋ln x对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________．

答案 e－1

ex－1－ln x解析 ∀x∈(0，＋∞)，不等式e－1≥kx＋ln x恒成立，等价于∀x∈(0，＋∞)，k≤xx恒成立，

ex－1－ln x令φ(x)＝(x>0)，

xexx－1＋ln x则φ′(x)＝，

x2当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，

∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(1)＝e－1，

∴k≤e－1.

11．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

1(1)当a＝时，求f(x)的极值；

2(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

11112－x解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，

22x22x令f′(x)＝0，得x＝2，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．

x

f′(x)

f(x)

故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．

(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，

1－ax1f′(x)＝－a＝.

xx当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；

10，，则f′(x)>0， 当a>0时，若x∈a1，＋∞，则f′(x)<0， 若x∈a1故函数在x＝处有极大值．

a综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，

1当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.

a12．已知函数f(x)＝xln x.

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．

解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，

1由f′(x)＝0，得x＝.

e10，时，f′(x)<0， 当x∈e1，＋∞时，f′(x)>0， 当x∈e(0,2)

＋

↗

2

0

ln 2－1

(2，＋∞)

－

↘

110，上单调递减，在区间，＋∞上单调递增． 所以f(x)在区间ee1所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．

e(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，

由g′(x)＝0，得x＝ea1.

所以在区间(0，ea1)上，g(x)单调递减，

在区间(ea1，＋∞)上，g(x)单调递增．

当ea1≥e，即a≥2时，g(x)在(0，e]上单调递减，

∴g(x)min＝g(e)＝a＋e－ae，

当ea1

∴g(x)min＝g(ea1)＝a－ea1，

令g(x)的最小值为h(a)，

a1a－e，a<2，综上有h(a)＝

a＋e－ae，a≥2.－－－－－－－－－－

13．已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则f(x)的值域为( )

4π2π－3，＋3 A.332πC.3＋3，2π

答案 D

解析 f′(x)＝1＋2cos x，x∈[0,2π]，

1令f′(x)＝0，得cos x＝－，

22π4π∴x＝或x＝，

332π2π又f

3＝3＋3，

4π4πf

3＝3－3，

f(0)＝0，

f(2π)＝2π，

4π2π＝2π－23<0， f

－f

3334π2π∴f(0)

3

3

4π0，－3 B.3D．[0,2π]

∴f(x)max＝f(2π)＝2π，f(x)min＝f(0)＝0，

∴f(x)的值域为[0,2π]．

114．(2020·邢台模拟)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，2则实数a的取值范围为________．

3，＋∞ 答案

21x＋ax－11－＝解析 对函数求导得f′(x)＝x－1＋a，x>0，因为函数存在唯一的极值，xx所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)13＝－＋a≥1，所以a≥.

22

15．已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．

1－，0 答案

eln x＋1解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，exln x＋1设g(x)＝，

ex1－ln x－1x1则g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

xex11则h′(x)＝－2－<0(x>0)，

xx∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，

∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，

1故g(x)max＝g(1)＝，

e而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，

11只需0<－m<，故－

ee16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当0

解 (1)f(x)的定义域为R，

f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．

a令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.

3a若a>0，则当x∈(－∞，0)∪3，＋∞时，f′(x)>0，

a0，时，f′(x)<0， 当x∈3aa，＋∞上单调递增，在0，上单调递减； 故f(x)在(－∞，0)，33若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

a－∞，∪(0，＋∞)时，f′(x)>0， 若a<0，则当x∈3a当x∈3，0时，f′(x)<0，

aa－∞，，(0，＋∞)上单调递增，在，0上单调递减． 故f(x)在33aa0，上单调递减，在，1上单调递增，所以f(x)在[0,1]的(2)当0

＝－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.

32734－a，0

272，2≤a<3.

所以M－m＝a27，2≤a<3.3a32－a＋，0

①当0

a3可知y＝2－a＋单调递减，

278所以M－m的取值范围是27，2.

a3②当2≤a<3时，y＝单调递增，

278所以M－m的取值范围是27，1.

8综上，M－m的取值范围是27，2.

2024年2月19日发(作者：汗雪风)

§3.3 导数与函数的极值、最值

考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．

1．函数的极值与导数

f′(x0)＝0

条件

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0

x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

极值

极值点

2.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

微思考

1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？

提示 必要不充分．

2．函数的极大值一定大于极小值吗？

提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．

f(x0)为极大值

x0为极大值点

f(x0)为极小值

x0为极小值点

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )

(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )

(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )

(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )

题组二 教材改编

2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 A

解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．

3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．

答案 ln x

1解析 构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极x大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x

4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．

答案

23a

27a解析 容积V＝(a－2x)2x,0

27题组三 易错自纠

5．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－6]∪[6，＋∞)

B．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

C．(－6，6)

D．[－6，6]

答案 B

解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，

由题意知f′(x)有变号零点，

∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0，

解得a>6或a<－6.

16．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.

3答案 4

解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

题型一 利用导数求函数的极值问题

命题点1 根据函数图象判断极值

例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．f(x)有两个极值点

B．f(0)为函数的极大值

C．f(x)有两个极小值

D．f(－1)为f(x)的极小值

答案 BC

解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，

∴f′(x)<0，

当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，

当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，

在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．

故AD错误，BC正确．

命题点2 求已知函数的极值

例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．

解 因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，

2a2x2－a所以f′(x)＝2x－＝.

xx①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．

所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f′(x)

f(x)

所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2aln a＝a－1－aln a．无极大值．

综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－aln a，无极大值．

命题点3 已知极值(点)求参数

例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.

答案 11

解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

f′－1＝0，由题意得

f－1＝0，a＝1，a＝2，解得或

b＝3b＝9，(0，a)

－

↘

a

0

极小值

(a，＋∞)

＋

↗

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，

∴f(x)在R上单调递增，

∴f(x)无极值，

所以a＝1，b＝3不符合题意，

当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．

∴a＋b＝11.

(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

10， 答案

2解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝1＋ln x－2ax.

由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，

1＋ln x即2a＝有两个不相等的实数根，

x

1＋ln x－ln x令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝2.

xx当00；当x>1时，φ′(x)<0，

∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

且φ(1)＝1，

当x→0时，φ(x)→－∞，

当x→＋∞时，φ(x)→0，

1则0<2a<1，即0

2思维升华 函数极值的两类热点问题

(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域．

②求导数f′(x)．

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1 (1)(2020·滨州模拟)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( )

A．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)

答案 D

解析 f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.

令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.

设g(x)＝(x－1)(x－a)．

①当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．

②当a>1时，当x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；

当1

∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不符合题意．

③当a<1时，当x>1或x0，

当a

所以x＝1是f(x)的极小值点，符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．

(2)若函数f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数a的取值范围是________．

B．(－1，＋∞)

D．(－∞，1)

1－∞， 答案

8解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

a2x2－x＋af′(x)＝2x－1＋＝，

xx由题意知y＝f′(x)有变号零点，

令2x2－x＋a＝0，

即a＝－2x2＋x(x>0)，

11x－2＋(x>0)， 令φ(x)＝－2x2＋x＝－2481其图象如图所示，故a<.

8

题型二 利用导数求函数的最值

例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．

(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；

(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．

解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，

2x－1x－11∴g′(x)＝＋2x－3＝，

xx∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，

∴g(x)在[1，e]上单调递增，

∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.

(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，

2x2－a＋2x＋aag′(x)＝＋2x－(a＋2)＝

xx＝2x－ax－1.

xa①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；

2aaa，e上单调递增，a＝aln

a－1，上单调递减，②当1<

4

a③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.

2－a－1，a≤2，a1综上，h(a)＝aln

2－4a－a，2

思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，

11－xf′(x)＝－1＋＝，

xx令f′(x)＝0，得x＝1.

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

∴f(x)max＝f(1)＝－1.

∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.

111，＋∞. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈xxe1①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，

e∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．

111②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0

exa11令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－

xa110，－上单调递增，在－，e上单调递减， 从而f(x)在aa

11－＝－1＋ln－. ∴f(x)max＝f

aa11－＝－3，得ln－＝－2， 令－1＋lnaa即a＝－e2.

1∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．

e故实数a的值为－e2.

课时精练

1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )

A．x＝1

C．x＝1或－1或0

答案 C

解析 f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1.

x2．函数y＝x在[0,2]上的最大值是( )

e121A. B.2 C．0 D.

ee2e答案 A

1－x解析 易知y′＝x，x∈[0,2]，

e令y′>0，得0≤x<1，

令y′<0，得1

xx1所以函数y＝x在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝x在[0,2]上的最大值是，故eee选A.

3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )

A．2

C．3＋ln 2

答案 B

2解析 由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解x5B．－

2D．－2＋2ln 2

B．x＝－1

D．x＝0

1得a＝，

2x－1x－212∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，

2xx∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

15∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.

2224．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x2等于( )

24816A. B. C. D.

3333答案 C

解析 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，222x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2328＝4－2×＝.

335．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )

A．－3是函数y＝f(x)的极值点

B．－1是函数y＝f(x)的最小值点

C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增

D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零

答案 BD

解析 根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点，

∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，

∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．

故错误的命题为BD.

x2＋x－16．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )

ex

A．函数f(x)存在两个不同的零点

B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C．当－e

5D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝2，则t的最小值为2

e答案 ABC

解析 由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，

－1±5∴x＝，故A正确．

2x2－x－2x＋1x－2f′(x)＝－＝－，

xeex当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，

当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，

∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．

5又f(－1)＝－e，f(2)＝2，

e且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，

∴f(x)的图象如图所示，

由图知C正确，D不正确．

7．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________．

答案 1＋ln 2

解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

12x－1f′(x)＝2－＝，

xx1当0

21当x>时，f′(x)>0.

2110，上单调递减，在，＋∞上单调递增， ∴f(x)在2211∴f(x)min＝f

＝1－ln ＝1＋ln 2.

228．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为______________．

33答案

－∞，－∪，＋∞

22解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，

则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，

故Δ＝(－4c)2－12>0，

解得c>33或c<－.

22所以实数c的取值范围为－∞，－33∪，＋∞.

22119．已知函数f(x)＝sin x－x，x∈[0，π]，cos x0＝，x0∈[0，π]．

33①f(x)的最大值为f(x0)；

②f(x)的最小值为f(x0)；

③f(x)在[0，x0]上是减函数；

④f(x0)为f(x)的极大值．

那么上面命题中真命题的序号是________．

答案 ①④

11解析 f′(x)＝cos x－，由f′(x)＝0，得cos x＝，即x＝x0，因为x0∈[0，π]，当0≤x0；当x0

10．已知不等式ex－1≥kx＋ln x对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________．

答案 e－1

ex－1－ln x解析 ∀x∈(0，＋∞)，不等式e－1≥kx＋ln x恒成立，等价于∀x∈(0，＋∞)，k≤xx恒成立，

ex－1－ln x令φ(x)＝(x>0)，

xexx－1＋ln x则φ′(x)＝，

x2当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，

∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)min＝φ(1)＝e－1，

∴k≤e－1.

11．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

1(1)当a＝时，求f(x)的极值；

2(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

11112－x解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，

22x22x令f′(x)＝0，得x＝2，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．

x

f′(x)

f(x)

故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．

(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，

1－ax1f′(x)＝－a＝.

xx当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；

10，，则f′(x)>0， 当a>0时，若x∈a1，＋∞，则f′(x)<0， 若x∈a1故函数在x＝处有极大值．

a综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，

1当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.

a12．已知函数f(x)＝xln x.

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．

解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，

1由f′(x)＝0，得x＝.

e10，时，f′(x)<0， 当x∈e1，＋∞时，f′(x)>0， 当x∈e(0,2)

＋

↗

2

0

ln 2－1

(2，＋∞)

－

↘

110，上单调递减，在区间，＋∞上单调递增． 所以f(x)在区间ee1所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．

e(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，

由g′(x)＝0，得x＝ea1.

所以在区间(0，ea1)上，g(x)单调递减，

在区间(ea1，＋∞)上，g(x)单调递增．

当ea1≥e，即a≥2时，g(x)在(0，e]上单调递减，

∴g(x)min＝g(e)＝a＋e－ae，

当ea1

∴g(x)min＝g(ea1)＝a－ea1，

令g(x)的最小值为h(a)，

a1a－e，a<2，综上有h(a)＝

a＋e－ae，a≥2.－－－－－－－－－－

13．已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则f(x)的值域为( )

4π2π－3，＋3 A.332πC.3＋3，2π

答案 D

解析 f′(x)＝1＋2cos x，x∈[0,2π]，

1令f′(x)＝0，得cos x＝－，

22π4π∴x＝或x＝，

332π2π又f

3＝3＋3，

4π4πf

3＝3－3，

f(0)＝0，

f(2π)＝2π，

4π2π＝2π－23<0， f

－f

3334π2π∴f(0)

3

3

4π0，－3 B.3D．[0,2π]

∴f(x)max＝f(2π)＝2π，f(x)min＝f(0)＝0，

∴f(x)的值域为[0,2π]．

114．(2020·邢台模拟)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，2则实数a的取值范围为________．

3，＋∞ 答案

21x＋ax－11－＝解析 对函数求导得f′(x)＝x－1＋a，x>0，因为函数存在唯一的极值，xx所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)13＝－＋a≥1，所以a≥.

22

15．已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．

1－，0 答案

eln x＋1解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，exln x＋1设g(x)＝，

ex1－ln x－1x1则g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

xex11则h′(x)＝－2－<0(x>0)，

xx∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，

∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，

1故g(x)max＝g(1)＝，

e而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，

11只需0<－m<，故－

ee16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当0

解 (1)f(x)的定义域为R，

f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．

a令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.

3a若a>0，则当x∈(－∞，0)∪3，＋∞时，f′(x)>0，

a0，时，f′(x)<0， 当x∈3aa，＋∞上单调递增，在0，上单调递减； 故f(x)在(－∞，0)，33若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

a－∞，∪(0，＋∞)时，f′(x)>0， 若a<0，则当x∈3a当x∈3，0时，f′(x)<0，

aa－∞，，(0，＋∞)上单调递增，在，0上单调递减． 故f(x)在33aa0，上单调递减，在，1上单调递增，所以f(x)在[0,1]的(2)当0

＝－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.

32734－a，0

272，2≤a<3.

所以M－m＝a27，2≤a<3.3a32－a＋，0

①当0

a3可知y＝2－a＋单调递减，

278所以M－m的取值范围是27，2.

a3②当2≤a<3时，y＝单调递增，

278所以M－m的取值范围是27，1.

8综上，M－m的取值范围是27，2.