2024年2月24日发(作者：郏美)

必修2综合测评(B卷)

(时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为( )

A．2

4C．3

2B．

38D．3

48解析：多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－3＝3，选D．

答案：D

2．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( )

A．120°

C．180°

解析：由题得πrl＝2πr2，∴l＝2r，

扇形的弧长为2πr＝πl，∴扇形是半圆，圆心角为180°，故选C．

答案：C

3π3．已知直线l的倾斜角为4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l与l1垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )

B．150°

D．240°

A．－4

C．0

B．－2

D．2

3π解析：直线l的倾斜角为4，所以斜率为－1，

2＋1∵l1⊥l，所以＝1，∴a＝0，

3－a2又l1∥l2，所以－b＝1，

∴b＝－2，∴a＋b＝－2，故选B．

答案：B

4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

答案：D

5．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为( )

7A．－9

71C．－9或－3

解析：若AB∥l，则7∴a＝－9，

13若l过AB的中点2，－2，

31则2a－2＋1＝0，

1a＝－3.

3＋46＋3＝－a，

1B．－3

7D．－9或1

故选C．

答案：C

6．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为( )

A．(－3,4，－10)

113C．2，－2，2

B．(－3,2，－4)

D．(6，－5,11)

解析：设点A关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A′(x0，y0，z0)，

－2＋y则2＝1，4＋z2＝－3，003＋x02＝0，

x0＝－3，∴y0＝4，z0＝－10.

∴A′(－3,4，－10)．

答案：A

7．已知圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝5，一束入射光线从点A(－1，1)出发经直线x＋y＋2＝0反射后与圆C相交于点P，求入射光线从点A到点P的最短路程为( )

A．5

C．35

B．25

D．45

解析：A(－1,1)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，

m＋1×－1＝－1，则m－1n＋12＋2＋2＝0，n－1|A′C|＝

m＝－3，解得∴A′(－3，－1)，C(3,2)，∴n＝－1，

3＋32＋2＋12＝35.

∴入射光线从点A到点P的最短路程为|A′C|－5＝25，故选B．

答案：B

8．若点M在圆x2＋y2－2x－10y＋25＝0上，点N在直线y＝x－2上，则N

到点P(3,2)的距离与N到M的距离之和的最小值是( )

A．6

C．4

B．5

D．3

解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，

圆心为C(1,5)，r＝1，

P(3,2)关于直线y＝x－2的对称点设为Q(x，y)，

x－3＝－1，则y＋2x＋32＝2－2，y－2

x＝4，解得∴Q(4,1)，

y＝1，∴|CQ|＝4－12＋1－52＝5，

|NP|＋|NM|＝|NQ|＋|NM|≥|CQ|－r＝5－1＝4，故选C．

答案：C

9．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－1)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )

A．2

C．46

B．36

D．56

解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

D＋3E＋F＋10＝0，则4D＋2E＋F＋20＝0，D－E＋F＋2＝0，

D＝－4，解得E＝－2，F＝0，

∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.

令x＝0，y2－2y＝0，∴y＝0或y＝2，∴|MN|＝2，故选A．

答案：A

10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，1F，且EF＝2，则下列结论中错误的是( )

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

解析：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，

∴AC⊥平面BB1D1D，

∴AC⊥BE，故A正确；

EF∥BD，∴EF∥平面ABCD，故B正确；

A到平面BB1D1D的距离为定值，△BEF的面积为定值，故C正确，D不正确，故选D．

答案：D

11．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )

5A．0，12

13C．3，4

解析：由y＝1＋5B．12，＋∞

53D．12，4

4－x2，得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，表示如图所示半圆．

直线y＝k(x－2)＋4恒过点(2,4)，

设A(－2,1)，B(2,1)，P(2,4)，直线MP与半圆相切，

直线MP的方程为y－4＝kMP(x－2)，

即kMPx－y－2kMP＋4＝0，

圆心到直线MP的距离为|3－2kMP|1＋k2MP＝2，

4－153解得kMP＝12，又kPA＝＝4，

2－－253∴12＜k≤4，故选D．

答案：D

12．如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′－ABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是( )

A．等边三角形

B．直角三角形

3C．两腰长都为2的等腰三角形

2D．两腰长都为2的等腰三角形

解析：由题可知，折起后C′在底面的射影落在BD的中点O上，所以C′O22＝2，所以主视图如图示，是等腰三角形，高为2，底面边长为1，所以腰为

32212＋2＝，故选C．

22

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，a)，若l1∥l2，则a的值为________．

解析：l1，l2的斜率分别为2，－a，由l1∥l2，可知a＝－2.

答案：－2

14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________(填“平行”“相交”或“异面”)．

答案：相交

15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.

解析：因为M(1,1)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上，所以圆心与切点M(1,1)的连线与切线l垂直，又知l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以圆心与切点M(1,1)的连线与直线ax＋y－1＝0斜率相等，－a＝1答案：2

16．下图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

1－21－－111＝－2，所以a＝2.

解析：该几何体是一个圆柱挖去了半个球组成的，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为3，所以S表＝π＋2π×3＋2π＝9π.

答案：9π

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)圆心在直线5x－3y－8＝0上的圆与两坐标轴都相切，求此圆的方程．

解：设圆心为(x，y)与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x＝y或x＝－y，

又圆心在5x－3y－8＝0上

若x＝y，则x＝y＝4；若x＝－y，则x＝1，y＝－1，

所以圆心是(4,4)或(1，－1)，

因为半径就是圆心到切线的距离，即到坐标轴的距离，

所以圆心是(4,4)，则r＝4；圆心是(1，－1)，则r＝1，

所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16和(x－1)2＋(y＋1)2＝1.

18．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(5，－2)和B(3,2)，且圆心在直线l1：x－y－2＝0上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点M(－3，－3)的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程．

解：(1)kAB＝2－－2＝－2，AB的中点为(4,0)，

3－51∴AB的中垂线的方程为y＝2(x－4)．

1y＝x－4，由2y＝x－2，

x＝0，得

y＝－2，

∴圆心坐标为(0，－2)．

又r2＝AC2＝(5－0)2＋(－2＋2)2＝25，

故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝25.

(2)当k不存在时，直线方程为x＝－3，满足题意；

当k存在时，设l2：y＋3＝k(x＋3)，

圆心(0，－2)到直线l2：y＋3＝k(x＋3)的距离为

|3k－1|d＝，

1＋k2由d2＋16＝r2，得d2＝9，

∴|3k－1|4＝3，∴k＝－3，

1＋k2所以直线方程为l2：4x＋3y＋21＝0，

故所求直线方程为x＝－3或4x＋3y＋21＝0.

19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC.

证明：(1)连接BD，∵底面ABCD为平行四边形，

∴AC与BD交于O点，

连接OM，∴OM为△PBD的中位线，故OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，

∴PB∥平面ACM.

(2)∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，

∴PO⊥AD，

∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

∴∠ACD＝45°，∴∠DAC＝90°，

∴AD⊥AC，

∵AC∩PO＝O，

∴AD⊥平面PAC.

20．(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵AB∥CD，AB＝2CD，F为AB的中点，

∴AF∥═CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD∥CF.

又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1.

∴CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

∴CC1∥平面ADD1A1，

又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，

∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

21．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.

－1－11又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为x·x＝－2，所以12不能出现AC⊥BC的情况．

1x21x2(2)证明：BC的中点坐标为2，2，可得BC的中垂线方程为y－2＝x2x－2.



m由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－2.

mx＝－2，联立1x2x－2，y－＝x22

mx＝－2，2又x2＋mx2－2＝0，可得1y＝－2.

m2＋91m所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－2，－2，半径r＝2.

故圆在y轴上截得的弦长为2轴上截得的弦长为定值．

22．(12分)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面EDC⊥底面ABCD，ED＝EC＝BC＝4，CF⊥平面BDE，且点F在EB上．

mr2－22＝3，即过A，B，C三点的圆在y

(1)求证：DE⊥平面BCE；

(2)求三棱锥A－BDE的体积；

(3)设点M在线段DC上，且满足DM＝2CM，试在线段EB上确定一点N，使得MN∥平面ADE.

解：(1)证明：∵ABCD是矩形，

∴BC⊥DC，

∵平面EDC⊥平面ABCD，

∴BC⊥平面EDC.

∴DE⊥BC.

∵CF⊥平面BDE，

∴DE⊥CF，

∵BC∩CF＝C，BC⊂平面BCE，CF⊂平面BCE.

∴DE⊥平面BCE.

(2)过点E作EH⊥DC，H为垂足．

∵平面EDC⊥平面ABCD，

∴EH⊥平面ABCD，

∵ED＝EC＝4，DE⊥CE，

∴DC＝42，EH＝22，

1132∴VA－BDE＝VE－ABD＝3×2×4×42×22＝3.

(3)过点M作MG∥DE交CE于G，过G作GN∥BC交EB于N，连接MN，

∵GN∥BC，BC∥AD，

∴GN∥AD，

∵MG∥DE，GN∩MG＝G，AD∩DE＝D，

∴平面MGN∥平面ADE.

∵MN⊂平面MGN，

∴MN∥平面ADE，

1∴线段EB上存在点N，当BN＝3BE时，使得MN∥平面ADE.

2024年2月24日发(作者：郏美)

必修2综合测评(B卷)

(时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为( )

A．2

4C．3

2B．

38D．3

48解析：多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－3＝3，选D．

答案：D

2．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( )

A．120°

C．180°

解析：由题得πrl＝2πr2，∴l＝2r，

扇形的弧长为2πr＝πl，∴扇形是半圆，圆心角为180°，故选C．

答案：C

3π3．已知直线l的倾斜角为4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l与l1垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )

B．150°

D．240°

A．－4

C．0

B．－2

D．2

3π解析：直线l的倾斜角为4，所以斜率为－1，

2＋1∵l1⊥l，所以＝1，∴a＝0，

3－a2又l1∥l2，所以－b＝1，

∴b＝－2，∴a＋b＝－2，故选B．

答案：B

4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

答案：D

5．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为( )

7A．－9

71C．－9或－3

解析：若AB∥l，则7∴a＝－9，

13若l过AB的中点2，－2，

31则2a－2＋1＝0，

1a＝－3.

3＋46＋3＝－a，

1B．－3

7D．－9或1

故选C．

答案：C

6．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为( )

A．(－3,4，－10)

113C．2，－2，2

B．(－3,2，－4)

D．(6，－5,11)

解析：设点A关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A′(x0，y0，z0)，

－2＋y则2＝1，4＋z2＝－3，003＋x02＝0，

x0＝－3，∴y0＝4，z0＝－10.

∴A′(－3,4，－10)．

答案：A

7．已知圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝5，一束入射光线从点A(－1，1)出发经直线x＋y＋2＝0反射后与圆C相交于点P，求入射光线从点A到点P的最短路程为( )

A．5

C．35

B．25

D．45

解析：A(－1,1)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，

m＋1×－1＝－1，则m－1n＋12＋2＋2＝0，n－1|A′C|＝

m＝－3，解得∴A′(－3，－1)，C(3,2)，∴n＝－1，

3＋32＋2＋12＝35.

∴入射光线从点A到点P的最短路程为|A′C|－5＝25，故选B．

答案：B

8．若点M在圆x2＋y2－2x－10y＋25＝0上，点N在直线y＝x－2上，则N

到点P(3,2)的距离与N到M的距离之和的最小值是( )

A．6

C．4

B．5

D．3

解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，

圆心为C(1,5)，r＝1，

P(3,2)关于直线y＝x－2的对称点设为Q(x，y)，

x－3＝－1，则y＋2x＋32＝2－2，y－2

x＝4，解得∴Q(4,1)，

y＝1，∴|CQ|＝4－12＋1－52＝5，

|NP|＋|NM|＝|NQ|＋|NM|≥|CQ|－r＝5－1＝4，故选C．

答案：C

9．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－1)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )

A．2

C．46

B．36

D．56

解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

D＋3E＋F＋10＝0，则4D＋2E＋F＋20＝0，D－E＋F＋2＝0，

D＝－4，解得E＝－2，F＝0，

∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.

令x＝0，y2－2y＝0，∴y＝0或y＝2，∴|MN|＝2，故选A．

答案：A

10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，1F，且EF＝2，则下列结论中错误的是( )

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

解析：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，

∴AC⊥平面BB1D1D，

∴AC⊥BE，故A正确；

EF∥BD，∴EF∥平面ABCD，故B正确；

A到平面BB1D1D的距离为定值，△BEF的面积为定值，故C正确，D不正确，故选D．

答案：D

11．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )

5A．0，12

13C．3，4

解析：由y＝1＋5B．12，＋∞

53D．12，4

4－x2，得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，表示如图所示半圆．

直线y＝k(x－2)＋4恒过点(2,4)，

设A(－2,1)，B(2,1)，P(2,4)，直线MP与半圆相切，

直线MP的方程为y－4＝kMP(x－2)，

即kMPx－y－2kMP＋4＝0，

圆心到直线MP的距离为|3－2kMP|1＋k2MP＝2，

4－153解得kMP＝12，又kPA＝＝4，

2－－253∴12＜k≤4，故选D．

答案：D

12．如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′－ABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是( )

A．等边三角形

B．直角三角形

3C．两腰长都为2的等腰三角形

2D．两腰长都为2的等腰三角形

解析：由题可知，折起后C′在底面的射影落在BD的中点O上，所以C′O22＝2，所以主视图如图示，是等腰三角形，高为2，底面边长为1，所以腰为

32212＋2＝，故选C．

22

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，a)，若l1∥l2，则a的值为________．

解析：l1，l2的斜率分别为2，－a，由l1∥l2，可知a＝－2.

答案：－2

14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________(填“平行”“相交”或“异面”)．

答案：相交

15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.

解析：因为M(1,1)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上，所以圆心与切点M(1,1)的连线与切线l垂直，又知l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以圆心与切点M(1,1)的连线与直线ax＋y－1＝0斜率相等，－a＝1答案：2

16．下图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

1－21－－111＝－2，所以a＝2.

解析：该几何体是一个圆柱挖去了半个球组成的，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为3，所以S表＝π＋2π×3＋2π＝9π.

答案：9π

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)圆心在直线5x－3y－8＝0上的圆与两坐标轴都相切，求此圆的方程．

解：设圆心为(x，y)与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x＝y或x＝－y，

又圆心在5x－3y－8＝0上

若x＝y，则x＝y＝4；若x＝－y，则x＝1，y＝－1，

所以圆心是(4,4)或(1，－1)，

因为半径就是圆心到切线的距离，即到坐标轴的距离，

所以圆心是(4,4)，则r＝4；圆心是(1，－1)，则r＝1，

所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16和(x－1)2＋(y＋1)2＝1.

18．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(5，－2)和B(3,2)，且圆心在直线l1：x－y－2＝0上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点M(－3，－3)的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程．

解：(1)kAB＝2－－2＝－2，AB的中点为(4,0)，

3－51∴AB的中垂线的方程为y＝2(x－4)．

1y＝x－4，由2y＝x－2，

x＝0，得

y＝－2，

∴圆心坐标为(0，－2)．

又r2＝AC2＝(5－0)2＋(－2＋2)2＝25，

故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝25.

(2)当k不存在时，直线方程为x＝－3，满足题意；

当k存在时，设l2：y＋3＝k(x＋3)，

圆心(0，－2)到直线l2：y＋3＝k(x＋3)的距离为

|3k－1|d＝，

1＋k2由d2＋16＝r2，得d2＝9，

∴|3k－1|4＝3，∴k＝－3，

1＋k2所以直线方程为l2：4x＋3y＋21＝0，

故所求直线方程为x＝－3或4x＋3y＋21＝0.

19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC.

证明：(1)连接BD，∵底面ABCD为平行四边形，

∴AC与BD交于O点，

连接OM，∴OM为△PBD的中位线，故OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，

∴PB∥平面ACM.

(2)∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，

∴PO⊥AD，

∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

∴∠ACD＝45°，∴∠DAC＝90°，

∴AD⊥AC，

∵AC∩PO＝O，

∴AD⊥平面PAC.

20．(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵AB∥CD，AB＝2CD，F为AB的中点，

∴AF∥═CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD∥CF.

又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1.

∴CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

∴CC1∥平面ADD1A1，

又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，

∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

21．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.

－1－11又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为x·x＝－2，所以12不能出现AC⊥BC的情况．

1x21x2(2)证明：BC的中点坐标为2，2，可得BC的中垂线方程为y－2＝x2x－2.



m由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－2.

mx＝－2，联立1x2x－2，y－＝x22

mx＝－2，2又x2＋mx2－2＝0，可得1y＝－2.

m2＋91m所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－2，－2，半径r＝2.

故圆在y轴上截得的弦长为2轴上截得的弦长为定值．

22．(12分)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面EDC⊥底面ABCD，ED＝EC＝BC＝4，CF⊥平面BDE，且点F在EB上．

mr2－22＝3，即过A，B，C三点的圆在y

(1)求证：DE⊥平面BCE；

(2)求三棱锥A－BDE的体积；

(3)设点M在线段DC上，且满足DM＝2CM，试在线段EB上确定一点N，使得MN∥平面ADE.

解：(1)证明：∵ABCD是矩形，

∴BC⊥DC，

∵平面EDC⊥平面ABCD，

∴BC⊥平面EDC.

∴DE⊥BC.

∵CF⊥平面BDE，

∴DE⊥CF，

∵BC∩CF＝C，BC⊂平面BCE，CF⊂平面BCE.

∴DE⊥平面BCE.

(2)过点E作EH⊥DC，H为垂足．

∵平面EDC⊥平面ABCD，

∴EH⊥平面ABCD，

∵ED＝EC＝4，DE⊥CE，

∴DC＝42，EH＝22，

1132∴VA－BDE＝VE－ABD＝3×2×4×42×22＝3.

(3)过点M作MG∥DE交CE于G，过G作GN∥BC交EB于N，连接MN，

∵GN∥BC，BC∥AD，

∴GN∥AD，

∵MG∥DE，GN∩MG＝G，AD∩DE＝D，

∴平面MGN∥平面ADE.

∵MN⊂平面MGN，

∴MN∥平面ADE，

1∴线段EB上存在点N，当BN＝3BE时，使得MN∥平面ADE.