2024年3月13日发(作者：尾惜灵)
两圆方程相减与圆的根轴
直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有
印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减
即可，当然前提是x
2
和y
2
系数要一样。并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内
公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：
圆O
1
：x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0 圆O
2
：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
两式相减得：L：(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+F
1
-F
2
=0
当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若
两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易
地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。我们当然是不能停留在
“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：
1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？
2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时
候的直线L与两圆又有什么关系？
我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两
圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。
当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导
数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处
的。我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O
1
与
圆O
2
联立出的方程的解的个数是一样的，而O
1
与O
2
只有一个解，故L与O
1
也只有一
个交点。如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。
当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线
的关系，可以发现他们斜率之间的关系：
L： (D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+F
1
-F
2
=0
O
1
点坐标=(-D
1
/2，-E
1
/2);O
2
点坐标=(-D
2
/2,-E
2
/2),简单计算便知，L与O
1
O
2
垂
直；O
1
O
2
的中点坐标为P=(-(D
1
+D
2
)/4,-(E
1
+E
2
)/4)，结合D
1
2
+E
1
2
-4F
1
=D
2
2
+E
2
2
-
4F
2
(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。
我们再来看第二个问题，当两圆相离时，得到的L又是两圆的什么？答案是根轴。
2024年3月13日发(作者：尾惜灵)
两圆方程相减与圆的根轴
直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有
印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减
即可，当然前提是x
2
和y
2
系数要一样。并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内
公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：
圆O
1
：x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0 圆O
2
：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
两式相减得：L：(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+F
1
-F
2
=0
当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若
两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易
地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。我们当然是不能停留在
“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：
1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？
2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时
候的直线L与两圆又有什么关系？
我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两
圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。
当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导
数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处
的。我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O
1
与
圆O
2
联立出的方程的解的个数是一样的，而O
1
与O
2
只有一个解，故L与O
1
也只有一
个交点。如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。
当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线
的关系，可以发现他们斜率之间的关系：
L： (D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+F
1
-F
2
=0
O
1
点坐标=(-D
1
/2，-E
1
/2);O
2
点坐标=(-D
2
/2,-E
2
/2),简单计算便知，L与O
1
O
2
垂
直；O
1
O
2
的中点坐标为P=(-(D
1
+D
2
)/4,-(E
1
+E
2
)/4)，结合D
1
2
+E
1
2
-4F
1
=D
2
2
+E
2
2
-
4F
2
(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。
我们再来看第二个问题，当两圆相离时，得到的L又是两圆的什么？答案是根轴。