2024年4月24日发(作者：侍静枫)
初三模拟考试（二）
数学试卷
说明：
1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时问90分钟，满分100分．
2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何
标记．
3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在
试卷上不给分）
4．考试结束，请将答题卡上交．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.
−2023
的倒数是（ ）
A.
−2023
【答案】
D
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为
1
，则这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：
−2023
的倒数是
−
故选：
D
．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2.
某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
B. 2023 C.
1
2023
D.
−
1
2023
1
，
2023
A. B.
C. D.
【答案】
C
【解析】
第1页/共24页
【分析】根据三视图判断即可；
【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故
A
不符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故
B
不符合题意；
的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故
C
符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故
D
不符合题意；
故选
C
．
【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．
3.
已知一组数据
2
，
3
，
5
，
x
，
5
，
3
有唯一的众数
3
，则
x
的值是（
）
A. 3
【答案】
A
【解析】
【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
【详解】解：在这组已知的数据中，“
3
”出现
2
次，“
5
”出现
2
次，“
2
”出现
1
次，
要使这组数据有唯一的众数
3
，因此
x
所表示的数一定是
3
．
故选：
A
．
【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数是正确判断的关
键．
4.
我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是
21500000
米．将数
21500000
用科学记数法
表示为（
）
A.
2.15×10
7
B.
0.125×10
9
C.
2.15×10
8
D.
21.5×10
7
B. 5 C. 2 D.
无法确定
第2页/共24页
【答案】
A
【解析】
【分析】绝对值大于
1
的
数可以用科学记数法表示，一般形式为
a×10
n
，
n
为正整数，且比原数的整数位
数少
1
，据此可以解答．
【详解】解：数
21500000
用科学记数法表示为
2.15×10
7
．
故选：
A
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为
a×10
n
，其
中
1≤
a
<10
，
n
是正整数，正确确定
a
的值和
n
的值是解题的关键．
5.
下列计算正确的是（
）
A.
a
2
+a
3
=a
5
C.
a
3
×a
2
=a
6
【答案】
D
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，进行计算即可得到
答案．
【详解】解：
A.
a
2
+a
3
≠a
5
，故本选项错误，不符合题意；
B.
2
(
a+1
)
=2a+2
，故本选项错误，不符合题意；
C.
a
3
×a
2
=a
5
，故本选项错误，不符合题意；
D.
ab
2
B.
2
(
a
+
1
)
=
2a
+
1
D.
ab
2
()
3
=a
3
b
6
()
3
=a
3
b
6
，故本选项正确，符合题意；
故选：
D
．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，熟练掌
握合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，是解题的关键．
x+5<4x−1
6.
不等式组
31
的解集是（
）
x≤6−x
2
2
A.
x
≥
3
【答案】
D
【解析】
【分析】分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出结论．
B.
x<2
或
x
≥
3
C.
x<2
D.
2 第3页/共24页 【详解】解：由 x+5<4x−1 ，得： x>2 ； 由 31 x ≤ 6 − x ，得： x≤3 ； 22 ∴ 2 ； 故选 D ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 7. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若 ∠2=45° ，则 ∠1 的度数为（ ） A. 30° 【答案】 B 【解析】 B. 45° C. 50° D. 55° 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作 EF∥AB ， ∵ AB CD ， ∴ EF∥AB∥CD ， ∴ ∠2=∠AEF=45°,∠1=∠FEC ， ∵ ∠AEC=90° ， ∴ ∠1=∠FEC=90°−45°=45° ， 故选： B ． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出 ∠2=∠AEF=45°,∠1=∠FEC ． 8. 如图，四边形 ABCD 是菱形， ∠ADC=120° ， AB=4 ，扇形 BEF 的半径为 4 ，圆心角为 60° ，则图 中阴影部分的面积是（ ） 第4页/共24页 A. 8 π −43 3 B. 8 π − 23 3 C. 2 π −43 D. 2 π −23 【答案】 A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出 DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 ABG≅DBH ， 得出四边形 GBHD 的面积等于 △ABD 的面积，进而求出即可． 【详解】解：连接 BD ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ADC=120° ， ∴ ∠A=60° ， ∠1=∠2=60° ， ∴ DAB 是等边三角形， ∵ AB=4 ， ∴ △ABD 的高为 23 ， ∵扇形 BEF 的半径为 4 ，圆心角为 60° ， ∴ ∠4+∠5=60° ， ∠3+∠5=60° ， ∴ ∠ 3= ∠ 4 ， 设 AD 、 BE 相交于点 G ，设 BF 、 DC 相交于点 H ， 在 ABG 和 △DBH 中， ∠2 ∠A= AB=DB ， ∠3=∠4 ∴ ABG≅DBH ( ASA ) ， ∴四边形 GBHD 的面积等于 △ABD 的面积， ∴图中阴影部分的面积是： S 扇形 EBF 故选： A ． 60× π ×4 2 18 −S ABD =−×4×23= π −43 ． 36023 第5页/共24页 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形 EBFD 的面积等于 △ABD 的面积是解题关键． 9. 10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P 、 X 、 Y 是小正方形的顶点， Q 是边 XY 一点．若线段 PQ 恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则 XQ 的值为（ ） QY A. 1 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 【答案】 B 【解析】 【分析】首先设 QY ＝ x ，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S △ + S 正方形 ＝ 程即可求得 QY 的长，即可解决问题． 【详解】解：设 QY ＝ x ，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S △ + S 正方形 ＝ 1 × 5 ×（ 1 + x ）+ 1 ＝ 5 ，解方 2 1 × 5 ×（ 1 + x ）+ 1 ＝ 5 ， 2 3 ， 5 32 ∴ XQ ＝ 1 ﹣ ＝， 5 5 2 XQ 5 2 ， ∴ == 3 QY3 5 解得 x ＝ 故选 B ． 【点睛】本题考查三角形的面积，一元一次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题， 属于中考常考题型． 10. 如图，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 在 AC 边上，过 △ABD 的内心 I 作 IE⊥BD 于点 E ．若 BD=10 ， CD=4 ，则 BE 的长为（ ） 第6页/共24页 A. 6 【答案】 B 【解析】 B. 7 C. 8 D. 9 =AGAF=,BGBE ， DE 【分析】过点 I 作 IG⊥AB,IF⊥AC ，垂足分别为 G ， F ，可得 AG=AF=a,DE=DF=b ， BE=BG=10−b ，再由 AB=AC ，即可求解． 【详解】如图，过点 I 作 IG⊥AB,IF⊥AC ，垂足分别为 G ， F ， =DF ，设 ∵点 I 为 △ABD 的内心， ∴以 IE 为半径的圆 I 是 △ABD 的内切圆， ==,BGBE ， DE=DF ， ∴ AGAF =AF=a,DE=DF=b ， 设 AG ∵ BD=10 ， ∴ BE=BG=10−b ， ∴ AB=AG+BG=a+ 10 −b , AC=AD+DC=a+b+ 4 ， ∵ AB=AC ， ∴ a+10−b=a+b+4 ， 解得： b=3 ， ∴ BE=10−b=7 ． 故选： B 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，熟练掌握三角形的内心的性质，切线长定理是解题 第7页/共24页 的关键． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 3 ，则 x−y= ___ ． 11. 已知 x 2 −y 2 =69 ， x+y= 【答案】 23 【解析】 【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ x 2 ﹣ y 2 ＝ 69 ， x+y ＝ 3 ， （ x ﹣ y ）＝ 3 （ x ﹣ y ）＝ 69 ， ∴ x 2 ﹣ y 2 ＝（ x+y ） 解得： x ﹣ y ＝ 23 ． 故答案为： 23 ． 【点睛】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键． 12. 抽样调查是一种用样本估计总体的很好的统计方法．小明的家承包了村里的一个鱼塘用来养鱼，养殖 一年后小明爸爸准备将养的鱼一次性整塘出售给某鱼店老板，为此，小明爸爸想估计一下整塘鱼的数 量．小明运用所学习的统计知识进行了一下操作：他首先从鱼塘中随机排捞出 100 条鱼，将这 100 条鱼分 别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出 240 条鱼，其中有记号的鱼有 15 条，这样小明就 帮爸爸估算出了鱼塘中鱼的数量．那么小明估计鱼塘中的鱼大约有 ___ 条． 【答案】 1600 【解析】 【分析】设鱼塘中的鱼有 x 条，则 15100 = ，由此能估计鱼塘中鱼的条数． 240x 【详解】解：设鱼塘中的鱼有 x 条，则 15100 = ， 240x 解得 x=1600 ． 经检验：符合题意 故答案为： 1600 ． 【点睛】本题考查收集数据的方法的应用，解题的关键是认真审题，建立等式． 60° ， AD 是角平分线且 AD=10 ，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F ，作 13. 如图，已知 ∠BAC= DE ⊥ AC ，则 DEF 周长为 ________ ． 第8页/共24页 【答案】 5+53 【解析】 60° 和 AD 是角平分线，就可以求出 ∠DAE= 【分析】知道 ∠BAC= 30° ， AD 的垂直平分线交 AC 于点 F 可以得到 AF=FD ，在直角三角形中 30 °所对的边等于斜边的一半，再求出 DE ，得到 C △DEF =DE+EF+AF=AE+DE ． 【详解】解： AD 的垂直平分线交 AC 于点 F ， ∴ DF=AF （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ C △DEF =DE+EF+AF=AE+DE 60° ， AD 是角平分线 ∵ ∠BAC= ∴ ∠DAE=30° ∵ AD=10 ∴ DE=5 ， AE=53 ∴ C △DEF =5+53 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性 质是解题的关键． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 1 ， BD 是矩形 ABCD 的对角线，将△ BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 2 重新摆放，观察两 图，若 a ＝ 4 ， b ＝ 2 ，则矩形 ABCD 的面积是 ______ ． 第9页/共24页 【答案】 16 【解析】 【分析】设小正方形的边长为 x ，利用 a 、 b 、 x 表示矩形的面积，再用 a 、 b 、 x 表示三角形以及正方形 的面积，根据面积列出关于 a 、 b 、 x 的关系式，解出 x ，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为 x ， ∴ 矩形的长为 ( a+x ) ，宽为 ( b+x ) ， 由图 1 可得： 111 ( a+x )( b+x= ) ax×2+bx×2+x 2 ， 222 整理得： x 2 +ax+bx−ab=0 ， a=4 ， b=2 ， ∴x 2 +6x−8=0 ， ∴x 2 +6x=8 ， ∴ 矩形的面积为 ( a+x )( b+x ) = ( x+4 )( x+2 ) =x 2 +6x+8=8+8=16 ． 故答案为： 16 ． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 15. 如图，菱形 ABCD 中， AB=2 ， DE⊥BC 于点 E ， F 为 CD 的中点，连接 AE ， AF ， EF ．若 ∠AFE=90° ，则 △AEF 的外接圆半径为 _____ ． 【答案】 3+1 2 第10页/共24页 【解析】 =CD=AB=2,AD∥BC ，证明 【分析】延长 EF 交 AD 的延长线于 G ，由菱形的性质得出 AD DFG≌CFE ( ASA ) ，得 ==,GFEF ，由线段垂直平分线的性质得出 AE=AG ，设出 DGCE CE=DG=x ，则 AE=AG=2+x ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 1 DE⊥AG,GF==EFCD=1 ，得到 = 由勾股定理得 DE 2 =AE 2 −AD 2 =EG 2 −DG 2 ， EG2=EF2 ， 2 解方程得到 DG=3−1 ，进而求出 AE 即可得到， △AEF 的外接圆的半径 【详解】解：延长 EF 交 AD 的延长线于 G ，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， =CD=AB=2,AD∥BC ， ∴ AD ∴ ∠GDF=∠C ， ∵ F 是 CD 的中点， ∴ CF=DF ， 又∵ ∠DFG=∠CFE ， ∴ DFG≌CFE ( ASA ) ， ==, GFEF ， ∴ DGCE ∵ ∠AFE=90° ， ∴ AF⊥EF ， ∴ AE=AG ， 设 CE=DG=x ，则 AE=AG=2+x ， ∵ AG ∥ BC,DE ⊥ BC ， F 是 CD 的中点， EFCD=1 ， ∴ DE⊥AG,GF== ∴ =EG2=EF2 ， 在 Rt△ADE 和 RtGDE 中，由勾股定理得 1 2 第11页/共24页 DE 2 =AE 2 −AD 2 =EG 2 −DG 2 ， 即 ( 2+x ) −2 2 =2 2 −x 2 ， 解得 =x ∴ DG= （负值舍去）， 3−1 ， 2 3−1 ， ∴ AE=AG=AD+DG=3+1 ， ∵ ∠AFE=90° ， ∴ AE 是 △AEF 的外接圆的直径， ∴ △AEF 的外接圆的半径为 3+1 ， 2 故答案为： 3+1 2 【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，直 角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，本题综合性强，有一定的难度 三、解答题（本题共 7 小题，共 55 分） 1 −10 16. 计算： −3+3cos30−(−)−12+( π −3) 3 11 【答案】 −3 2 【解析】 【分析】先利用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次数幂、二次根式化简以及零次幂等知识进行化 简，然后再进行计算． 【详解】解： −3+3cos30−(−)−12+( π −3) 1 3 −10 =3+3× 3 −(−3)−23+1 2 = ＝ 3+ 3 +3−23+1 2 11 −3 ． 2 【点睛】本题主要考查了绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次数幂、二次根式化简以及零次幂等知识 点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． x 2 x−1 −x+1 ÷ 2 17. 先化简，在求值： ，再从 −1、0、1 三个数中选择一个你认为合适 的 数作为 x x+1 x+2x+1 第12页/共24页
2024年4月24日发(作者：侍静枫)
初三模拟考试（二）
数学试卷
说明：
1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时问90分钟，满分100分．
2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何
标记．
3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在
试卷上不给分）
4．考试结束，请将答题卡上交．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.
−2023
的倒数是（ ）
A.
−2023
【答案】
D
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为
1
，则这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：
−2023
的倒数是
−
故选：
D
．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2.
某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
B. 2023 C.
1
2023
D.
−
1
2023
1
，
2023
A. B.
C. D.
【答案】
C
【解析】
第1页/共24页
【分析】根据三视图判断即可；
【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故
A
不符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故
B
不符合题意；
的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故
C
符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故
D
不符合题意；
故选
C
．
【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．
3.
已知一组数据
2
，
3
，
5
，
x
，
5
，
3
有唯一的众数
3
，则
x
的值是（
）
A. 3
【答案】
A
【解析】
【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
【详解】解：在这组已知的数据中，“
3
”出现
2
次，“
5
”出现
2
次，“
2
”出现
1
次，
要使这组数据有唯一的众数
3
，因此
x
所表示的数一定是
3
．
故选：
A
．
【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数是正确判断的关
键．
4.
我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是
21500000
米．将数
21500000
用科学记数法
表示为（
）
A.
2.15×10
7
B.
0.125×10
9
C.
2.15×10
8
D.
21.5×10
7
B. 5 C. 2 D.
无法确定
第2页/共24页
【答案】
A
【解析】
【分析】绝对值大于
1
的
数可以用科学记数法表示，一般形式为
a×10
n
，
n
为正整数，且比原数的整数位
数少
1
，据此可以解答．
【详解】解：数
21500000
用科学记数法表示为
2.15×10
7
．
故选：
A
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为
a×10
n
，其
中
1≤
a
<10
，
n
是正整数，正确确定
a
的值和
n
的值是解题的关键．
5.
下列计算正确的是（
）
A.
a
2
+a
3
=a
5
C.
a
3
×a
2
=a
6
【答案】
D
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，进行计算即可得到
答案．
【详解】解：
A.
a
2
+a
3
≠a
5
，故本选项错误，不符合题意；
B.
2
(
a+1
)
=2a+2
，故本选项错误，不符合题意；
C.
a
3
×a
2
=a
5
，故本选项错误，不符合题意；
D.
ab
2
B.
2
(
a
+
1
)
=
2a
+
1
D.
ab
2
()
3
=a
3
b
6
()
3
=a
3
b
6
，故本选项正确，符合题意；
故选：
D
．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，熟练掌
握合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、去括号法则，是解题的关键．
x+5<4x−1
6.
不等式组
31
的解集是（
）
x≤6−x
2
2
A.
x
≥
3
【答案】
D
【解析】
【分析】分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出结论．
B.
x<2
或
x
≥
3
C.
x<2
D.
2 第3页/共24页 【详解】解：由 x+5<4x−1 ，得： x>2 ； 由 31 x ≤ 6 − x ，得： x≤3 ； 22 ∴ 2 ； 故选 D ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 7. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若 ∠2=45° ，则 ∠1 的度数为（ ） A. 30° 【答案】 B 【解析】 B. 45° C. 50° D. 55° 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作 EF∥AB ， ∵ AB CD ， ∴ EF∥AB∥CD ， ∴ ∠2=∠AEF=45°,∠1=∠FEC ， ∵ ∠AEC=90° ， ∴ ∠1=∠FEC=90°−45°=45° ， 故选： B ． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出 ∠2=∠AEF=45°,∠1=∠FEC ． 8. 如图，四边形 ABCD 是菱形， ∠ADC=120° ， AB=4 ，扇形 BEF 的半径为 4 ，圆心角为 60° ，则图 中阴影部分的面积是（ ） 第4页/共24页 A. 8 π −43 3 B. 8 π − 23 3 C. 2 π −43 D. 2 π −23 【答案】 A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出 DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 ABG≅DBH ， 得出四边形 GBHD 的面积等于 △ABD 的面积，进而求出即可． 【详解】解：连接 BD ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ADC=120° ， ∴ ∠A=60° ， ∠1=∠2=60° ， ∴ DAB 是等边三角形， ∵ AB=4 ， ∴ △ABD 的高为 23 ， ∵扇形 BEF 的半径为 4 ，圆心角为 60° ， ∴ ∠4+∠5=60° ， ∠3+∠5=60° ， ∴ ∠ 3= ∠ 4 ， 设 AD 、 BE 相交于点 G ，设 BF 、 DC 相交于点 H ， 在 ABG 和 △DBH 中， ∠2 ∠A= AB=DB ， ∠3=∠4 ∴ ABG≅DBH ( ASA ) ， ∴四边形 GBHD 的面积等于 △ABD 的面积， ∴图中阴影部分的面积是： S 扇形 EBF 故选： A ． 60× π ×4 2 18 −S ABD =−×4×23= π −43 ． 36023 第5页/共24页 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形 EBFD 的面积等于 △ABD 的面积是解题关键． 9. 10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P 、 X 、 Y 是小正方形的顶点， Q 是边 XY 一点．若线段 PQ 恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则 XQ 的值为（ ） QY A. 1 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 【答案】 B 【解析】 【分析】首先设 QY ＝ x ，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S △ + S 正方形 ＝ 程即可求得 QY 的长，即可解决问题． 【详解】解：设 QY ＝ x ，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S △ + S 正方形 ＝ 1 × 5 ×（ 1 + x ）+ 1 ＝ 5 ，解方 2 1 × 5 ×（ 1 + x ）+ 1 ＝ 5 ， 2 3 ， 5 32 ∴ XQ ＝ 1 ﹣ ＝， 5 5 2 XQ 5 2 ， ∴ == 3 QY3 5 解得 x ＝ 故选 B ． 【点睛】本题考查三角形的面积，一元一次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题， 属于中考常考题型． 10. 如图，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 在 AC 边上，过 △ABD 的内心 I 作 IE⊥BD 于点 E ．若 BD=10 ， CD=4 ，则 BE 的长为（ ） 第6页/共24页 A. 6 【答案】 B 【解析】 B. 7 C. 8 D. 9 =AGAF=,BGBE ， DE 【分析】过点 I 作 IG⊥AB,IF⊥AC ，垂足分别为 G ， F ，可得 AG=AF=a,DE=DF=b ， BE=BG=10−b ，再由 AB=AC ，即可求解． 【详解】如图，过点 I 作 IG⊥AB,IF⊥AC ，垂足分别为 G ， F ， =DF ，设 ∵点 I 为 △ABD 的内心， ∴以 IE 为半径的圆 I 是 △ABD 的内切圆， ==,BGBE ， DE=DF ， ∴ AGAF =AF=a,DE=DF=b ， 设 AG ∵ BD=10 ， ∴ BE=BG=10−b ， ∴ AB=AG+BG=a+ 10 −b , AC=AD+DC=a+b+ 4 ， ∵ AB=AC ， ∴ a+10−b=a+b+4 ， 解得： b=3 ， ∴ BE=10−b=7 ． 故选： B 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，熟练掌握三角形的内心的性质，切线长定理是解题 第7页/共24页 的关键． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 3 ，则 x−y= ___ ． 11. 已知 x 2 −y 2 =69 ， x+y= 【答案】 23 【解析】 【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ x 2 ﹣ y 2 ＝ 69 ， x+y ＝ 3 ， （ x ﹣ y ）＝ 3 （ x ﹣ y ）＝ 69 ， ∴ x 2 ﹣ y 2 ＝（ x+y ） 解得： x ﹣ y ＝ 23 ． 故答案为： 23 ． 【点睛】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键． 12. 抽样调查是一种用样本估计总体的很好的统计方法．小明的家承包了村里的一个鱼塘用来养鱼，养殖 一年后小明爸爸准备将养的鱼一次性整塘出售给某鱼店老板，为此，小明爸爸想估计一下整塘鱼的数 量．小明运用所学习的统计知识进行了一下操作：他首先从鱼塘中随机排捞出 100 条鱼，将这 100 条鱼分 别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出 240 条鱼，其中有记号的鱼有 15 条，这样小明就 帮爸爸估算出了鱼塘中鱼的数量．那么小明估计鱼塘中的鱼大约有 ___ 条． 【答案】 1600 【解析】 【分析】设鱼塘中的鱼有 x 条，则 15100 = ，由此能估计鱼塘中鱼的条数． 240x 【详解】解：设鱼塘中的鱼有 x 条，则 15100 = ， 240x 解得 x=1600 ． 经检验：符合题意 故答案为： 1600 ． 【点睛】本题考查收集数据的方法的应用，解题的关键是认真审题，建立等式． 60° ， AD 是角平分线且 AD=10 ，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F ，作 13. 如图，已知 ∠BAC= DE ⊥ AC ，则 DEF 周长为 ________ ． 第8页/共24页 【答案】 5+53 【解析】 60° 和 AD 是角平分线，就可以求出 ∠DAE= 【分析】知道 ∠BAC= 30° ， AD 的垂直平分线交 AC 于点 F 可以得到 AF=FD ，在直角三角形中 30 °所对的边等于斜边的一半，再求出 DE ，得到 C △DEF =DE+EF+AF=AE+DE ． 【详解】解： AD 的垂直平分线交 AC 于点 F ， ∴ DF=AF （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ C △DEF =DE+EF+AF=AE+DE 60° ， AD 是角平分线 ∵ ∠BAC= ∴ ∠DAE=30° ∵ AD=10 ∴ DE=5 ， AE=53 ∴ C △DEF =5+53 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性 质是解题的关键． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 1 ， BD 是矩形 ABCD 的对角线，将△ BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 2 重新摆放，观察两 图，若 a ＝ 4 ， b ＝ 2 ，则矩形 ABCD 的面积是 ______ ． 第9页/共24页 【答案】 16 【解析】 【分析】设小正方形的边长为 x ，利用 a 、 b 、 x 表示矩形的面积，再用 a 、 b 、 x 表示三角形以及正方形 的面积，根据面积列出关于 a 、 b 、 x 的关系式，解出 x ，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为 x ， ∴ 矩形的长为 ( a+x ) ，宽为 ( b+x ) ， 由图 1 可得： 111 ( a+x )( b+x= ) ax×2+bx×2+x 2 ， 222 整理得： x 2 +ax+bx−ab=0 ， a=4 ， b=2 ， ∴x 2 +6x−8=0 ， ∴x 2 +6x=8 ， ∴ 矩形的面积为 ( a+x )( b+x ) = ( x+4 )( x+2 ) =x 2 +6x+8=8+8=16 ． 故答案为： 16 ． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 15. 如图，菱形 ABCD 中， AB=2 ， DE⊥BC 于点 E ， F 为 CD 的中点，连接 AE ， AF ， EF ．若 ∠AFE=90° ，则 △AEF 的外接圆半径为 _____ ． 【答案】 3+1 2 第10页/共24页 【解析】 =CD=AB=2,AD∥BC ，证明 【分析】延长 EF 交 AD 的延长线于 G ，由菱形的性质得出 AD DFG≌CFE ( ASA ) ，得 ==,GFEF ，由线段垂直平分线的性质得出 AE=AG ，设出 DGCE CE=DG=x ，则 AE=AG=2+x ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 1 DE⊥AG,GF==EFCD=1 ，得到 = 由勾股定理得 DE 2 =AE 2 −AD 2 =EG 2 −DG 2 ， EG2=EF2 ， 2 解方程得到 DG=3−1 ，进而求出 AE 即可得到， △AEF 的外接圆的半径 【详解】解：延长 EF 交 AD 的延长线于 G ，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， =CD=AB=2,AD∥BC ， ∴ AD ∴ ∠GDF=∠C ， ∵ F 是 CD 的中点， ∴ CF=DF ， 又∵ ∠DFG=∠CFE ， ∴ DFG≌CFE ( ASA ) ， ==, GFEF ， ∴ DGCE ∵ ∠AFE=90° ， ∴ AF⊥EF ， ∴ AE=AG ， 设 CE=DG=x ，则 AE=AG=2+x ， ∵ AG ∥ BC,DE ⊥ BC ， F 是 CD 的中点， EFCD=1 ， ∴ DE⊥AG,GF== ∴ =EG2=EF2 ， 在 Rt△ADE 和 RtGDE 中，由勾股定理得 1 2 第11页/共24页 DE 2 =AE 2 −AD 2 =EG 2 −DG 2 ， 即 ( 2+x ) −2 2 =2 2 −x 2 ， 解得 =x ∴ DG= （负值舍去）， 3−1 ， 2 3−1 ， ∴ AE=AG=AD+DG=3+1 ， ∵ ∠AFE=90° ， ∴ AE 是 △AEF 的外接圆的直径， ∴ △AEF 的外接圆的半径为 3+1 ， 2 故答案为： 3+1 2 【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，直 角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，本题综合性强，有一定的难度 三、解答题（本题共 7 小题，共 55 分） 1 −10 16. 计算： −3+3cos30−(−)−12+( π −3) 3 11 【答案】 −3 2 【解析】 【分析】先利用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次数幂、二次根式化简以及零次幂等知识进行化 简，然后再进行计算． 【详解】解： −3+3cos30−(−)−12+( π −3) 1 3 −10 =3+3× 3 −(−3)−23+1 2 = ＝ 3+ 3 +3−23+1 2 11 −3 ． 2 【点睛】本题主要考查了绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次数幂、二次根式化简以及零次幂等知识 点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． x 2 x−1 −x+1 ÷ 2 17. 先化简，在求值： ，再从 −1、0、1 三个数中选择一个你认为合适 的 数作为 x x+1 x+2x+1 第12页/共24页