2024年3月13日发(作者：徐书雁)

【高考数学】直线系和圆系方程

定义：如果两条曲线方程是

f

1

(x，y)＝0

和

f

2

(x，y)＝0，它们的交点是

P（x

0

，y

0

），方程

f

1

(x，y)＋λf

2

（x，y）

＝0的曲线也经过点

P（λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f

1

(x，y)＝0

和

f

2

（x，y）＝0

交点的

曲线系方程为：f

1

（x，y）＋λf

2

（x，y）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：

（1）过已知点P（x

0

，y

0

）的直线系方程y－y

0

＝k（x－x

0

）（k为参数）

（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）

（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）

（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）

（5）过直线l

1

：A

1

x＋B

1

y＋C

1

＝0与l

2

：A

2

x＋B

2

y＋C

2

＝0的交点的直线系方程：A

1

x＋B

1

y＋C

1

＋λ（A

2

x

＋B

2

y＋C

2

）＝0（λ为参数）

例1：已知直线l

1

：x＋y＋2＝0与l

2

：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线

L的方程。

解：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。





2





32





3

11



∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。解得：λ＝。

2

31



1

所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0

例2：求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。



x



2y



1



0



x



9

解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即



，∴直线过定点P（9，－4）

解得



x



y



5



0y



4



例3：求过直线：

x2y10

与直线：

2xy10

的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

解：设所求直线方程为：

x2y1



(2xy1)0

，当直线过原点时，则

1



=0，则



=－1，此时所

求直线方程为：

x2y0

；当所求直线不过原点时，令

x

=0，解得

y

=

由题意得，

1





1





1

，解得





，此时，所求直线方程为：

5x5y40

.

综上所述，所求直线

=



3





22





1

方程为：

x2y0

或

5x5y40

.





1





1

，令

y

=0，解得

x

=



，





22





1

二.圆系

概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：

（1）同心圆系：（x－x

0

）

2

＋（y－y

0

）

2

＝r

2

，x

0

、y

0

为常数，r为参数。

（2）过两已知圆C

1

：f

1

（x，y）＝x

2

＋y

2

＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＝0。和C

2

：f

2

（x，y）＝x

2

＋y

2

＋D

2

x＋E

2

y＋F

2

＝0的交点的圆系方程为：x

2

＋y

2

＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＋λ（x

2

＋y

2

＋D

2

x＋E

2

y＋F

2

）＝0（λ≠－1）

若λ＝－1时，变为（D

1

－D

2

）x＋（E

1

－E

2

）y＋F

1

－F

2

＝0，则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，

此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L：Ax＋By＋C＝0与圆C：x

2

＋y

2

＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过

直线L与圆C交点的圆系方程为x

2

＋y

2

＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。

例

4

：求过圆：

x

+

y

2x

+

2y

+1=0

与圆：

x

+

y

+

4x

2y

4

=0

的交点，圆心在直线：

x2y+50

的

圆的方程.

解：设所求圆的方程为：

x

+

y

2x

+

2y

+1+



(

x

+

y

+

4x

2y

4

)=0(



≠

1

).

整理得

2

2

2

2

2

2

2

2

1



2





1

,)

，由已知

(1



)x

2

(1



)y

2

(4



2)x2(1



)y14



=0

，所以所求圆的圆心为

(

1





1





第

1

页共

6

页

1



2





1



2



5

＝0，解得，



=

8

，代入圆系方程

1





1





341833

22

xy

0

.

整理得，所求圆的方程为

xy

777

所求圆的圆心在直线：

x2y50

上，所以

例

5

：求经过两条曲线x

2

＋y

2

＋3x－y＝0①和3x

2

＋3y

2

＋2x＋y＝0②交点的直线方程。

2121

解：先化②为圆的一般式方程：

x

2



y

2



x

y0

③由①－③得：

(3)x(1

)y



0

3333

即

7x

－

4y

＝

0

。此为所求直线方程。

例6：求过直线2x＋y＋4＝0和圆

x

2

y

2

2x4y10

的交点，且过原点的圆方程。

解：根据（3），设所求圆的方程为：

x

2

y

2

2x4y1(2xy4)0

。

即

x

2

y

2

2(1)x(4)y(14)0

，因为过原点，所以1＋4



＝0，得



＝



故所求圆的方程为：

x

2



y

2



317

x

y0

。

24

22

例

7

：已知圆

O

：

xy2x4y10

和圆外一点

A

（

3

，

4

），过点

A

作圆

O

的切线，切点分别为

C

、

D，求过切点C、D的直线方程.

分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段

AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.

解：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,

2

)，

∴|AO|=

1

。

4

(31)

2

(42)

2

=

210

，线段AO的中点为（2，1），∴以线段AO为直径的圆的方程为

(x2)

2

(y1)

2

10

，即

x

2

y

2

4x2y50

，圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理

得：

x

+

3y

+3=0

，∴直线

CD

的方程为

x

+

3y

+3=0.

例

8

：求过点

P(1，4)

圆

(x2)(y3)1

的切线的方程．

解：设所求直线的方程为

A(x1)B(y4)0

（其中

A

，则整理有

AxByA4B0

，

，B

不全为零）

∵直线

l

与圆相切，∴圆心

C(2，3)

到直线

l

的距离等于半径

1

，故

即

A0

（这时

B0

），或

A

A(4A3B)0

，

22

2

A



3

B



A



4

B

A



B

22



1

，整理，得

例9：平面上有两个圆，它们的方程分别是x

2

+y

2

=16和x

2

+y

2

－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。

解：∵x

2

+y

2

－6x+8y+24=0



(x－3)

2

+(y+4)

2

=1∴这两圆是外切∴(x

2

+y

2

－6x+8y+24)－(x

2

+y

2

－16)=0



3x－

4y－20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x－4y－20=0

22

3

B

0

．故所求直线l的方程为

y4

或

3x4y130

．

4

例10：已知圆

xyx6ym0

与直线

x2y30

相交于P，Q两点，O为坐标原点，若

OPOQ

，

求实数m的值。

分析：充分挖掘本题的几何关系

OPOQ

，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆

的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线

x2y30

与圆

xyx6ym0

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

x6ym



(x2y3)0

，即

x

2

y

2

(1



)x2(



3)ym3



0

①

1





,3





)

显然在直线

x2y30

上，则依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心

(



2

1







2(3





)



3



0

，解之可得



1

又

O(0,0)

满足方程①，则

m3



0

，故

m3

。

2

第

2

页共

6

页

1.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.

2.求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程.

(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直.

3.过点P（3，1）作曲线C：x

2

+y

2

﹣2x=0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0

4.对于任意实数λ，曲线（1+λ）x

2

+（1+λ）y

2

+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0恒过定点

2222

）

5.求经过两圆

xy

＋3

x

－

y

－2＝0和

3x3y

＋2

x

＋

y

＋１＝0交点和坐标原点的圆的方程．

6.求经过两圆x

2

+y

2

+6x



4=0和x

2

+y

2

+6y



28=0的交点,并且圆心在直线x



y



4=0上的圆的方程.

7.

求与圆x

2

y

2



4

x

2

y

20



0

切于A

(



1,



3),

且过B

(2,0)

的圆的方程

.

8.求过两圆

xy5

和

(x1)(y1)16

的交点且面积最小的圆的方程。

2222

第

3

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页

9.求经过直线

l

：2

x

＋

y

＋4＝0与圆Ｃ：

xy

＋2

x

－4

y

＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．

22

10.在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）

是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存

在，请说明理由．

11.已知圆C：（x－1）

2

＋（y－2）

2

＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

12.已知圆C：x

2

+y

2

+4x﹣2y+a=0，直线l：x﹣y﹣3=0，点O为坐标原点．（1）求过圆C的圆心且与直线l

垂直的直线m的方程；（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．

13.已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，

过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不

过定点，请说明理由．

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页

1.



2

,

2



2.（1）x+2y-4=0，（2）4x+3y-6=0；

3.解：方程x

2

+y

2

﹣2x=0①可化为（x﹣1）

2

+y

2

=1，即曲线C是一个圆，记圆心为C．

因为PA，PB分别切圆C于A，B，所以P，A，B，C四点在以PC为直径的圆

即x

2

+y

2

﹣4x﹣y+3=0②上，两圆公共弦所在直线即为所求，由①﹣②，得直线AB的方程为2x+y﹣3=0．

故选：A．

4.解：曲线（1+λ）x

2

+（1+λ）y

2

+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0可化为（x

2

+y

2

+6x﹣16）+λ（x

2

+y

2

﹣4x﹣6）=0，

∴x

2

+y

2

+6x﹣16=0且x

2

+y

2

﹣4x﹣6=0，可得恒过定点．故答案为：．

5.解：由题可设所求圆的方程为：（

xy

＋3

x

－

y

－2）＋



（

3x3y

＋2

x

＋

y

＋１）＝０

2222



75





∵



＝２故所求的圆的方程为：

(

x

2

y

2



3

xy

2)



2(3

x

2



3

y

2



2

xy

1)



0

即

7x

2

7y

2

＋7

x

＋

y

＝０。

（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋从而



＝０．

6.解:构造方程x

2

+y

2

+6x



4+λ(x

2

+y

2

+6y



28)=0即(1+λ)x

2

+(1+λ)y

2

+6x+6λy



(4+28λ)=0

此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为

(





33





4



0,

得





7.

∴所求圆方程为x

2

+y

2



x+7y



32=0

1





1





7.

解：过

A

(



1,



3)

的圆的切线为

3

x



4

y



15



0

。与已知圆构造圆系

x

2



y

2



4

x



2

y



20





(3

x



4

y



15)



0

，代入

(2,0)

得





33



,

)

当该圆心在直线xy4=0上时,即

1





1





8

,

所以所求圆方程为

7

7

x

2



7

y

2



4

x



18

y



20



0.

2222

8.解：圆

xy5

和

(x1)(y1)16

的公共弦方程为

2x2y110

过直线

2x2y110

与圆

x

2

y

2

5

的交点的圆系方程为

x

2

y

2

25



(2x2y11)0

，即

x

2

y

2

2



x2



y(11



25)0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必

为所求圆的直径，圆心

(



,



)

必在公共弦所在直线

2x2y110

上。即

2



2



110

，则

11111179





代回圆系方程得所求圆方程

(

x

)

2



(

y

)

2



4448

2222

9.解：设圆的方程为：

xy

＋2

x

－4

y

＋1＋



（2

x

＋

y

＋4）＝0即

xy

＋

2(1



)x(



4)y

158

2

48

222

2

＋（1＋4



）＝0则

r

4(1





)



(





4)



4(1



4



)



(





)



，当



＝时，

r

最小，

44555

22

从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：

5x5y

＋26

x

－12

y

＋37＝０



10.解：（Ⅰ）设圆的方程为x

2

+y

2

+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：

，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C的方程为x

2

+y

2

﹣6x+8y+7=0．

（Ⅱ）过直线

xy+a0

与圆

xy6x8y70

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

6x8y7



(xya)0

，即

x

2

y

2

(



6)x(



8)y7+



a0

①





6





8

依题意，O在以AB为直径的圆上，则圆心

(



,



)

显然在直线

xya0

上，则

22





6





8



a



0

，解之可得

a



+1

，又

O(0,0)

满足方程①，

7



a0

，故

a

2

a70

22

无解，故不存在a

，

使得

OA

⊥

OB

。

第

5

页共

6

页



2

x



y



7



0



x



3

11.

解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.∵m∈R，∴



，得



，即l恒

x



y



4



0

y



1



过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝

5

＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于

1

两点.（2）弦长最小时，l⊥AC，由k

AC

＝－

，∴l的方程为2x－y－5=0.

2

12.解：（1）由题意得，C（﹣2，1），k

l

=1，由m⊥l得，k

m

•k

l

=﹣1，∴k

m

=﹣1．∵直线过圆心（﹣2，1），

∴直线m的方程为x+y+1=0．

（2）过直线

xy30

与圆

xy4x2ya0

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

4x2ya



(xy3)0

，即

x

2

y

2

(4



)x(



2)ya3



0

①

4





+2

依题意，O在以MN为直径的圆上，则圆心

(



,)

显然在直线

xy30

上，则

22

4







2



3



0

，解之可得



6

，又

O(0,0)

满足方程①，则

a3



0

，故

a18

。

22

13.解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴r=d==2，∴圆C的方程为

x

2

+y

2

=24①；

（2）连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴A，B在以OP为直径的圆

上，设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为（4，），∴以OP为直径的圆方程为（x﹣

4）+（y﹣）

2

=16+，②∵AB为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即

8（x﹣3）+by=0，则直线AB恒过定点（3，0）．

第

6

页共

6

页

2024年3月13日发(作者：徐书雁)

【高考数学】直线系和圆系方程

定义：如果两条曲线方程是

f

1

(x，y)＝0

和

f

2

(x，y)＝0，它们的交点是

P（x

0

，y

0

），方程

f

1

(x，y)＋λf

2

（x，y）

＝0的曲线也经过点

P（λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f

1

(x，y)＝0

和

f

2

（x，y）＝0

交点的

曲线系方程为：f

1

（x，y）＋λf

2

（x，y）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：

（1）过已知点P（x

0

，y

0

）的直线系方程y－y

0

＝k（x－x

0

）（k为参数）

（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）

（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）

（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）

（5）过直线l

1

：A

1

x＋B

1

y＋C

1

＝0与l

2

：A

2

x＋B

2

y＋C

2

＝0的交点的直线系方程：A

1

x＋B

1

y＋C

1

＋λ（A

2

x

＋B

2

y＋C

2

）＝0（λ为参数）

例1：已知直线l

1

：x＋y＋2＝0与l

2

：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线

L的方程。

解：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。





2





32





3

11



∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。解得：λ＝。

2

31



1

所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0

例2：求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。



x



2y



1



0



x



9

解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即



，∴直线过定点P（9，－4）

解得



x



y



5



0y



4



例3：求过直线：

x2y10

与直线：

2xy10

的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

解：设所求直线方程为：

x2y1



(2xy1)0

，当直线过原点时，则

1



=0，则



=－1，此时所

求直线方程为：

x2y0

；当所求直线不过原点时，令

x

=0，解得

y

=

由题意得，

1





1





1

，解得





，此时，所求直线方程为：

5x5y40

.

综上所述，所求直线

=



3





22





1

方程为：

x2y0

或

5x5y40

.





1





1

，令

y

=0，解得

x

=



，





22





1

二.圆系

概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：

（1）同心圆系：（x－x

0

）

2

＋（y－y

0

）

2

＝r

2

，x

0

、y

0

为常数，r为参数。

（2）过两已知圆C

1

：f

1

（x，y）＝x

2

＋y

2

＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＝0。和C

2

：f

2

（x，y）＝x

2

＋y

2

＋D

2

x＋E

2

y＋F

2

＝0的交点的圆系方程为：x

2

＋y

2

＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＋λ（x

2

＋y

2

＋D

2

x＋E

2

y＋F

2

）＝0（λ≠－1）

若λ＝－1时，变为（D

1

－D

2

）x＋（E

1

－E

2

）y＋F

1

－F

2

＝0，则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，

此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L：Ax＋By＋C＝0与圆C：x

2

＋y

2

＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过

直线L与圆C交点的圆系方程为x

2

＋y

2

＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。

例

4

：求过圆：

x

+

y

2x

+

2y

+1=0

与圆：

x

+

y

+

4x

2y

4

=0

的交点，圆心在直线：

x2y+50

的

圆的方程.

解：设所求圆的方程为：

x

+

y

2x

+

2y

+1+



(

x

+

y

+

4x

2y

4

)=0(



≠

1

).

整理得

2

2

2

2

2

2

2

2

1



2





1

,)

，由已知

(1



)x

2

(1



)y

2

(4



2)x2(1



)y14



=0

，所以所求圆的圆心为

(

1





1





第

1

页共

6

页

1



2





1



2



5

＝0，解得，



=

8

，代入圆系方程

1





1





341833

22

xy

0

.

整理得，所求圆的方程为

xy

777

所求圆的圆心在直线：

x2y50

上，所以

例

5

：求经过两条曲线x

2

＋y

2

＋3x－y＝0①和3x

2

＋3y

2

＋2x＋y＝0②交点的直线方程。

2121

解：先化②为圆的一般式方程：

x

2



y

2



x

y0

③由①－③得：

(3)x(1

)y



0

3333

即

7x

－

4y

＝

0

。此为所求直线方程。

例6：求过直线2x＋y＋4＝0和圆

x

2

y

2

2x4y10

的交点，且过原点的圆方程。

解：根据（3），设所求圆的方程为：

x

2

y

2

2x4y1(2xy4)0

。

即

x

2

y

2

2(1)x(4)y(14)0

，因为过原点，所以1＋4



＝0，得



＝



故所求圆的方程为：

x

2



y

2



317

x

y0

。

24

22

例

7

：已知圆

O

：

xy2x4y10

和圆外一点

A

（

3

，

4

），过点

A

作圆

O

的切线，切点分别为

C

、

D，求过切点C、D的直线方程.

分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段

AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.

解：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,

2

)，

∴|AO|=

1

。

4

(31)

2

(42)

2

=

210

，线段AO的中点为（2，1），∴以线段AO为直径的圆的方程为

(x2)

2

(y1)

2

10

，即

x

2

y

2

4x2y50

，圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理

得：

x

+

3y

+3=0

，∴直线

CD

的方程为

x

+

3y

+3=0.

例

8

：求过点

P(1，4)

圆

(x2)(y3)1

的切线的方程．

解：设所求直线的方程为

A(x1)B(y4)0

（其中

A

，则整理有

AxByA4B0

，

，B

不全为零）

∵直线

l

与圆相切，∴圆心

C(2，3)

到直线

l

的距离等于半径

1

，故

即

A0

（这时

B0

），或

A

A(4A3B)0

，

22

2

A



3

B



A



4

B

A



B

22



1

，整理，得

例9：平面上有两个圆，它们的方程分别是x

2

+y

2

=16和x

2

+y

2

－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。

解：∵x

2

+y

2

－6x+8y+24=0



(x－3)

2

+(y+4)

2

=1∴这两圆是外切∴(x

2

+y

2

－6x+8y+24)－(x

2

+y

2

－16)=0



3x－

4y－20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x－4y－20=0

22

3

B

0

．故所求直线l的方程为

y4

或

3x4y130

．

4

例10：已知圆

xyx6ym0

与直线

x2y30

相交于P，Q两点，O为坐标原点，若

OPOQ

，

求实数m的值。

分析：充分挖掘本题的几何关系

OPOQ

，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆

的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线

x2y30

与圆

xyx6ym0

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

x6ym



(x2y3)0

，即

x

2

y

2

(1



)x2(



3)ym3



0

①

1





,3





)

显然在直线

x2y30

上，则依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心

(



2

1







2(3





)



3



0

，解之可得



1

又

O(0,0)

满足方程①，则

m3



0

，故

m3

。

2

第

2

页共

6

页

1.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.

2.求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程.

(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直.

3.过点P（3，1）作曲线C：x

2

+y

2

﹣2x=0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0

4.对于任意实数λ，曲线（1+λ）x

2

+（1+λ）y

2

+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0恒过定点

2222

）

5.求经过两圆

xy

＋3

x

－

y

－2＝0和

3x3y

＋2

x

＋

y

＋１＝0交点和坐标原点的圆的方程．

6.求经过两圆x

2

+y

2

+6x



4=0和x

2

+y

2

+6y



28=0的交点,并且圆心在直线x



y



4=0上的圆的方程.

7.

求与圆x

2

y

2



4

x

2

y

20



0

切于A

(



1,



3),

且过B

(2,0)

的圆的方程

.

8.求过两圆

xy5

和

(x1)(y1)16

的交点且面积最小的圆的方程。

2222

第

3

页共

6

页

9.求经过直线

l

：2

x

＋

y

＋4＝0与圆Ｃ：

xy

＋2

x

－4

y

＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．

22

10.在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）

是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存

在，请说明理由．

11.已知圆C：（x－1）

2

＋（y－2）

2

＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

12.已知圆C：x

2

+y

2

+4x﹣2y+a=0，直线l：x﹣y﹣3=0，点O为坐标原点．（1）求过圆C的圆心且与直线l

垂直的直线m的方程；（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．

13.已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，

过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不

过定点，请说明理由．

第

4

页共

6

页

1.



2

,

2



2.（1）x+2y-4=0，（2）4x+3y-6=0；

3.解：方程x

2

+y

2

﹣2x=0①可化为（x﹣1）

2

+y

2

=1，即曲线C是一个圆，记圆心为C．

因为PA，PB分别切圆C于A，B，所以P，A，B，C四点在以PC为直径的圆

即x

2

+y

2

﹣4x﹣y+3=0②上，两圆公共弦所在直线即为所求，由①﹣②，得直线AB的方程为2x+y﹣3=0．

故选：A．

4.解：曲线（1+λ）x

2

+（1+λ）y

2

+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0可化为（x

2

+y

2

+6x﹣16）+λ（x

2

+y

2

﹣4x﹣6）=0，

∴x

2

+y

2

+6x﹣16=0且x

2

+y

2

﹣4x﹣6=0，可得恒过定点．故答案为：．

5.解：由题可设所求圆的方程为：（

xy

＋3

x

－

y

－2）＋



（

3x3y

＋2

x

＋

y

＋１）＝０

2222



75





∵



＝２故所求的圆的方程为：

(

x

2

y

2



3

xy

2)



2(3

x

2



3

y

2



2

xy

1)



0

即

7x

2

7y

2

＋7

x

＋

y

＝０。

（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋从而



＝０．

6.解:构造方程x

2

+y

2

+6x



4+λ(x

2

+y

2

+6y



28)=0即(1+λ)x

2

+(1+λ)y

2

+6x+6λy



(4+28λ)=0

此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为

(





33





4



0,

得





7.

∴所求圆方程为x

2

+y

2



x+7y



32=0

1





1





7.

解：过

A

(



1,



3)

的圆的切线为

3

x



4

y



15



0

。与已知圆构造圆系

x

2



y

2



4

x



2

y



20





(3

x



4

y



15)



0

，代入

(2,0)

得





33



,

)

当该圆心在直线xy4=0上时,即

1





1





8

,

所以所求圆方程为

7

7

x

2



7

y

2



4

x



18

y



20



0.

2222

8.解：圆

xy5

和

(x1)(y1)16

的公共弦方程为

2x2y110

过直线

2x2y110

与圆

x

2

y

2

5

的交点的圆系方程为

x

2

y

2

25



(2x2y11)0

，即

x

2

y

2

2



x2



y(11



25)0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必

为所求圆的直径，圆心

(



,



)

必在公共弦所在直线

2x2y110

上。即

2



2



110

，则

11111179





代回圆系方程得所求圆方程

(

x

)

2



(

y

)

2



4448

2222

9.解：设圆的方程为：

xy

＋2

x

－4

y

＋1＋



（2

x

＋

y

＋4）＝0即

xy

＋

2(1



)x(



4)y

158

2

48

222

2

＋（1＋4



）＝0则

r

4(1





)



(





4)



4(1



4



)



(





)



，当



＝时，

r

最小，

44555

22

从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：

5x5y

＋26

x

－12

y

＋37＝０



10.解：（Ⅰ）设圆的方程为x

2

+y

2

+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：

，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C的方程为x

2

+y

2

﹣6x+8y+7=0．

（Ⅱ）过直线

xy+a0

与圆

xy6x8y70

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

6x8y7



(xya)0

，即

x

2

y

2

(



6)x(



8)y7+



a0

①





6





8

依题意，O在以AB为直径的圆上，则圆心

(



,



)

显然在直线

xya0

上，则

22





6





8



a



0

，解之可得

a



+1

，又

O(0,0)

满足方程①，

7



a0

，故

a

2

a70

22

无解，故不存在a

，

使得

OA

⊥

OB

。

第

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页共

6

页



2

x



y



7



0



x



3

11.

解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.∵m∈R，∴



，得



，即l恒

x



y



4



0

y



1



过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝

5

＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于

1

两点.（2）弦长最小时，l⊥AC，由k

AC

＝－

，∴l的方程为2x－y－5=0.

2

12.解：（1）由题意得，C（﹣2，1），k

l

=1，由m⊥l得，k

m

•k

l

=﹣1，∴k

m

=﹣1．∵直线过圆心（﹣2，1），

∴直线m的方程为x+y+1=0．

（2）过直线

xy30

与圆

xy4x2ya0

的交点的圆系方程为：

22

x

2

y

2

4x2ya



(xy3)0

，即

x

2

y

2

(4



)x(



2)ya3



0

①

4





+2

依题意，O在以MN为直径的圆上，则圆心

(



,)

显然在直线

xy30

上，则

22

4







2



3



0

，解之可得



6

，又

O(0,0)

满足方程①，则

a3



0

，故

a18

。

22

13.解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴r=d==2，∴圆C的方程为

x

2

+y

2

=24①；

（2）连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴A，B在以OP为直径的圆

上，设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为（4，），∴以OP为直径的圆方程为（x﹣

4）+（y﹣）

2

=16+，②∵AB为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即

8（x﹣3）+by=0，则直线AB恒过定点（3，0）．

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