2024年3月25日发(作者：潮心水)
专业 班级 学号 姓名 成绩 时间
174
第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、（20分）判断题
1.y=ce
2x
(c的任意常数)是
y
′
=2x的特解。 ( )
3
2.y=(
y
′′
)是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）
二、（20分）填空题
1.
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是
。
2. 积分曲线y=(c
1
+c
2
x)e
24
2
x
中满足y
2
x=0
=0,
y
′
x=0
=1的曲线是 。
3. 微分方程
xy'''+(y')+y=0
的阶是
4. 若
y=(Ax+B)e
是微分方程
y''−2y'=xe
的一个特解
，则
A=
，
B=
三、（20分）选择题
1．下列方程中 是常微分方程。
xx
d
arctanx
∂
2
a∂
2
a
y+
(e)=0
(C)
2
+
2
=0 （D）
y
′′
=x
2
+y
2
（A）x+y=a (B)
dx
∂x∂y
222
2.下列方程中 是二阶微分方程。
（A）（
y
′′
）+
xy
′
+x
2
=0；(B) (
y
′
)
2
+3x
2
y=x
3
；(C)
y
′′′
+3
y
′′
+y=0； (D)
y
′
−y
=sinx
22
d
2
y
2
+wy=0的通解是 其中c，c
1
，c
2
均为任意常数。 3.微分方程
dx
2
（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c
1
coswx+c
2
sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
4．C是任意常数，则微分方程
y
′
=
3y
的一个特解是
（A）y=(x+2)
3
(B)y=x
3
+1 (C) y=(x+c)
3
(D)y=c(x+1)
3
四、（20分）微分方程的通解为
(x−C
1
)+(y−C
2
)=1
（其中
C
1
,C
2
为任意常数），求该
微分方程。
五、（20分）用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成
正比, 与温度的平方成反比.
22
2
3
专业 班级 学号 姓名 成绩 时间
175
12-2 可分离变量的微分方程
一、（15分）判断题
1．所有可分离变量的微分方程都是一阶线性齐次方程。 （ ）
2．方程
dy
=f(x)+g(y)
是可分离变量的微分方程。 （ ）
dx
dyy1y
2
y
2
作变换
=
u
，可化为可分离变量的微分方程。（ ） 3．对方程
=+tan
x
dx2x2yx
二、（20分）填空题
1．微分方程sec
2
xtanydx+sec
2
ytanxdy=0的通解是 。
2．微分方程
1
dy=
1
dx
,
y
π
=e
满足所给初始条件的特解是 。
x=
ylnysinx
2
2
3．已知
ξ⋅y(ξ)dξ=x+y(x)
，则
y(x)
＝ 。
0
∫
x
4．曲线上任一点
(x,y)
的切线都与该点的向径垂直,则曲线的方程是 。
三、（10分）选择题
1．满足方程
（A）
Cx
1
−n
n
1
∫
0
f(tx)dt=nf(x)
，（n为大于1的自然数）的可导函数
f(x)
为（ ）。
； (B)C(C为常数)； (C)
Csinx
； （D）
Ccosx
。
x+y
2．微分方程
(e
（A）
e
(C)
e
x+y
−e
x
)dx+(e
x+y
+e
y
)dy=0
通解是（ ）。
−e
x
+e
y
=C
； (B)
(e
x
−1)(e
y
+1)=C
；
x+y
−e
x
−e
y
=C
； （D）
(e
x
+1)(e
y
+1)=C
。
四、（15分）求下列微分方程的通解
1.
(y+1)
2
2.
tanydx−sinxdy=0
dy
3
+x=0
dx
2024年3月25日发(作者：潮心水)
专业 班级 学号 姓名 成绩 时间
174
第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、（20分）判断题
1.y=ce
2x
(c的任意常数)是
y
′
=2x的特解。 ( )
3
2.y=(
y
′′
)是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）
二、（20分）填空题
1.
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是
。
2. 积分曲线y=(c
1
+c
2
x)e
24
2
x
中满足y
2
x=0
=0,
y
′
x=0
=1的曲线是 。
3. 微分方程
xy'''+(y')+y=0
的阶是
4. 若
y=(Ax+B)e
是微分方程
y''−2y'=xe
的一个特解
，则
A=
，
B=
三、（20分）选择题
1．下列方程中 是常微分方程。
xx
d
arctanx
∂
2
a∂
2
a
y+
(e)=0
(C)
2
+
2
=0 （D）
y
′′
=x
2
+y
2
（A）x+y=a (B)
dx
∂x∂y
222
2.下列方程中 是二阶微分方程。
（A）（
y
′′
）+
xy
′
+x
2
=0；(B) (
y
′
)
2
+3x
2
y=x
3
；(C)
y
′′′
+3
y
′′
+y=0； (D)
y
′
−y
=sinx
22
d
2
y
2
+wy=0的通解是 其中c，c
1
，c
2
均为任意常数。 3.微分方程
dx
2
（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c
1
coswx+c
2
sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
4．C是任意常数，则微分方程
y
′
=
3y
的一个特解是
（A）y=(x+2)
3
(B)y=x
3
+1 (C) y=(x+c)
3
(D)y=c(x+1)
3
四、（20分）微分方程的通解为
(x−C
1
)+(y−C
2
)=1
（其中
C
1
,C
2
为任意常数），求该
微分方程。
五、（20分）用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成
正比, 与温度的平方成反比.
22
2
3
专业 班级 学号 姓名 成绩 时间
175
12-2 可分离变量的微分方程
一、（15分）判断题
1．所有可分离变量的微分方程都是一阶线性齐次方程。 （ ）
2．方程
dy
=f(x)+g(y)
是可分离变量的微分方程。 （ ）
dx
dyy1y
2
y
2
作变换
=
u
，可化为可分离变量的微分方程。（ ） 3．对方程
=+tan
x
dx2x2yx
二、（20分）填空题
1．微分方程sec
2
xtanydx+sec
2
ytanxdy=0的通解是 。
2．微分方程
1
dy=
1
dx
,
y
π
=e
满足所给初始条件的特解是 。
x=
ylnysinx
2
2
3．已知
ξ⋅y(ξ)dξ=x+y(x)
，则
y(x)
＝ 。
0
∫
x
4．曲线上任一点
(x,y)
的切线都与该点的向径垂直,则曲线的方程是 。
三、（10分）选择题
1．满足方程
（A）
Cx
1
−n
n
1
∫
0
f(tx)dt=nf(x)
，（n为大于1的自然数）的可导函数
f(x)
为（ ）。
； (B)C(C为常数)； (C)
Csinx
； （D）
Ccosx
。
x+y
2．微分方程
(e
（A）
e
(C)
e
x+y
−e
x
)dx+(e
x+y
+e
y
)dy=0
通解是（ ）。
−e
x
+e
y
=C
； (B)
(e
x
−1)(e
y
+1)=C
；
x+y
−e
x
−e
y
=C
； （D）
(e
x
+1)(e
y
+1)=C
。
四、（15分）求下列微分方程的通解
1.
(y+1)
2
2.
tanydx−sinxdy=0
dy
3
+x=0
dx