2024年5月6日发(作者：速琛瑞)
论自然推理系统P的三种证明方法
作者：刘亚婷
来源：《现代经济信息》 2017年第20期
摘要：自然推理系统P是逻辑学中很好的一个推理规则，它可以用来解决日常生活、科学
领域、社会活动等逻辑推理，它主要有三种证明方法：直接证明法、附加前提证明法和归谬证
明法。用这三种方法推出的结论，都是有效结论，当他的前提条件成立时，结论一定成立。
关键词：自然推理系统；证明；方法
中图分类号：O141文献识别码：A文章编号：1001-828X(2017)030-0-02
在数理逻辑中，最重要的就是用数学的方法研究推理。所谓推理，就是通过一系列已知的
命题公式，应用所给的推理规则推出命题公式的过程。推理又分为公理推理和自然推理，在我
们的日常生活中，经常用自然推理来解决一些实际问题。自然推理是形式系统中的推理之一，
我们常称为自然推理系统P。现将自然推理系统P定义如下：
1.字母表
(1)命题变项的符号:p,q,r,…
(2)联结词的符号:┐,∧,∨，→,
(3)逗号与括号:，,()
2.合式公式
(1)单个的命题变项和命题常项是合式公式,称作原子命题公式
(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式
(3)若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)也是合式公式
(4)有限次地应用(1)--(3)组成的符号串也是合式公式
3.推理规则
(1)前提引入:在证明的任何步骤上都可引入已知前提;
(2)结论引入:在证明的任何步骤上所得到的结论都可作为后续证明的前提。
(3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式都可以用与之等值的公式来置换。
(4)假言推理(5)附加规则(6)化简规则
那么如何在自然推理系统P中进行证明呢？步骤如下：
(1)将原子命题符号化
(2)将实际问题的前提A1,A2,…,Ak写出来
(3)将实际问题的结论B写出来
(4)根据自然推理系统P中的推理规则进行判断
在自然推理系统P中构造证明时，将形式构造成：
前提：A1,A2,…,Ak
结论：B
然后利用直接证明法、附加前提证明法和归谬证明法进行证明。
1.直接证明法：就是由前提A1,A2,…,Ak出发，应用推理规则，推出结论B的方法。
例1.若明天是星期二或星期四，我就有课。若我有有课，今天必须备课。若我今天下午没
备课。则说明天是星期二或星期四是不对的。
构造证明
(1)设p：明天星期二，q：明天星期四，r：我有课，s：我必须备课
(2)推理的形式结构
2.附加前提证明法：当结论为A→B形式时，可以将A列入前提中，然后用直接证明法推出
B的方法。
例2.如果小刘和小黄去游泳，则小王也去游泳。小李不去游泳或小刘去游泳。小黄去游泳。
所以，当小李去游泳时，小王必定也去。
构造证明:
(1)令p:小刘去游泳；
q:小黄去游泳；
r:小王去游泳；
s:小李去游泳。
(2)推理的形式结构
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
结论：s→r
(3)证明：
①s附加前提引入
②┐s∨p前提引入
③p①②析取三段论
④q前提引入
⑤p∧q③④合取
⑥(p∧q)→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
∴推理是正确的.
3.归谬证明法：将结论B的否定式┐B列如前提中，然后用直接证明法推出矛盾式即可。
例3.若2是素数则3不是奇数，4不是偶数或3是奇数，4是偶数并且不是无理数，所以2
不是素数。
构造证明:
(1)令p:2是素数；
q:3是奇数；
r:4是偶数；
s:是有理数。
(2)推理的形式结构
前提：p→┐q,┐r∨q,r∧┐s
结论：┐p
(3)证明：
①p结论否定引入
②p→┐q前提引入
③┐q①②假言推理
④┐r∨q前提引入
⑤┐r③④析取三段论
⑥r∧┐s前提引入
⑦r⑥化简
⑧r∧┐r⑤⑦合取
∴推理是正确的。
以上三种证明方法经常用来解决日常生活、社会活动、科学领域中的许多逻辑推理问题，
并能判断出推理的正确与否。
参考文献：
[1]屈婉玲,耿素云.离散数学及其应用[M].高等教育出版社,2008.
[2]屈婉玲,耿素云.离散数学习题解析[M].高等教育出版社,2008.
[3]屈婉玲,耿素云,王捍贫.离散数学教程[M].北京大学出版社,2002.
2024年5月6日发(作者：速琛瑞)
论自然推理系统P的三种证明方法
作者：刘亚婷
来源：《现代经济信息》 2017年第20期
摘要：自然推理系统P是逻辑学中很好的一个推理规则，它可以用来解决日常生活、科学
领域、社会活动等逻辑推理，它主要有三种证明方法：直接证明法、附加前提证明法和归谬证
明法。用这三种方法推出的结论，都是有效结论，当他的前提条件成立时，结论一定成立。
关键词：自然推理系统；证明；方法
中图分类号：O141文献识别码：A文章编号：1001-828X(2017)030-0-02
在数理逻辑中，最重要的就是用数学的方法研究推理。所谓推理，就是通过一系列已知的
命题公式，应用所给的推理规则推出命题公式的过程。推理又分为公理推理和自然推理，在我
们的日常生活中，经常用自然推理来解决一些实际问题。自然推理是形式系统中的推理之一，
我们常称为自然推理系统P。现将自然推理系统P定义如下：
1.字母表
(1)命题变项的符号:p,q,r,…
(2)联结词的符号:┐,∧,∨，→,
(3)逗号与括号:，,()
2.合式公式
(1)单个的命题变项和命题常项是合式公式,称作原子命题公式
(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式
(3)若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)也是合式公式
(4)有限次地应用(1)--(3)组成的符号串也是合式公式
3.推理规则
(1)前提引入:在证明的任何步骤上都可引入已知前提;
(2)结论引入:在证明的任何步骤上所得到的结论都可作为后续证明的前提。
(3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式都可以用与之等值的公式来置换。
(4)假言推理(5)附加规则(6)化简规则
那么如何在自然推理系统P中进行证明呢？步骤如下：
(1)将原子命题符号化
(2)将实际问题的前提A1,A2,…,Ak写出来
(3)将实际问题的结论B写出来
(4)根据自然推理系统P中的推理规则进行判断
在自然推理系统P中构造证明时，将形式构造成：
前提：A1,A2,…,Ak
结论：B
然后利用直接证明法、附加前提证明法和归谬证明法进行证明。
1.直接证明法：就是由前提A1,A2,…,Ak出发，应用推理规则，推出结论B的方法。
例1.若明天是星期二或星期四，我就有课。若我有有课，今天必须备课。若我今天下午没
备课。则说明天是星期二或星期四是不对的。
构造证明
(1)设p：明天星期二，q：明天星期四，r：我有课，s：我必须备课
(2)推理的形式结构
2.附加前提证明法：当结论为A→B形式时，可以将A列入前提中，然后用直接证明法推出
B的方法。
例2.如果小刘和小黄去游泳，则小王也去游泳。小李不去游泳或小刘去游泳。小黄去游泳。
所以，当小李去游泳时，小王必定也去。
构造证明:
(1)令p:小刘去游泳；
q:小黄去游泳；
r:小王去游泳；
s:小李去游泳。
(2)推理的形式结构
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
结论：s→r
(3)证明：
①s附加前提引入
②┐s∨p前提引入
③p①②析取三段论
④q前提引入
⑤p∧q③④合取
⑥(p∧q)→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
∴推理是正确的.
3.归谬证明法：将结论B的否定式┐B列如前提中，然后用直接证明法推出矛盾式即可。
例3.若2是素数则3不是奇数，4不是偶数或3是奇数，4是偶数并且不是无理数，所以2
不是素数。
构造证明:
(1)令p:2是素数；
q:3是奇数；
r:4是偶数；
s:是有理数。
(2)推理的形式结构
前提：p→┐q,┐r∨q,r∧┐s
结论：┐p
(3)证明：
①p结论否定引入
②p→┐q前提引入
③┐q①②假言推理
④┐r∨q前提引入
⑤┐r③④析取三段论
⑥r∧┐s前提引入
⑦r⑥化简
⑧r∧┐r⑤⑦合取
∴推理是正确的。
以上三种证明方法经常用来解决日常生活、社会活动、科学领域中的许多逻辑推理问题，
并能判断出推理的正确与否。
参考文献：
[1]屈婉玲,耿素云.离散数学及其应用[M].高等教育出版社,2008.
[2]屈婉玲,耿素云.离散数学习题解析[M].高等教育出版社,2008.
[3]屈婉玲,耿素云,王捍贫.离散数学教程[M].北京大学出版社,2002.