2024年2月26日发(作者：萨庆雪)
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一元二次方程根的判别式 姓名
◆课前预习
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0方程_________；（2）b2－4ac=0方程_________；
（3）b2－4ac<0方程_________．
2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．
◆互动课堂
【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） x2－5x+3=0
（2） x2+22x+2=0；
（3） 3x2+2=4x
（4） mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．
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【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－1）=0．求证：无论k取什么实数值，2这个方程总有实数根；
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【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个实数根？
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
◆跟进课堂
1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．
2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．
3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．
4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．
5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是_______．
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6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A．x2+2x－1=0 B．x2+23x+3=0
C．x2+2x+1=0 D．－x2+x+2=0
7．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（ ）．A．－1 B．0 C．1
D．2
8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）．
A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=0
9．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）．
A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>1
10．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（ ）．
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
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◆课外作业
1.在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A）x2+3x+1=0 （B）4x1=-1 （C）x2+2x+3=0 （D）xx1=x11
2．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是
A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根
C、有两个相等的实数根 D、没有实数根
3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（ ）．
A、1或－4 B、1 C、－4 D、－1或4
24．若关于x的一元二次方程x3xm0有实数根，则m的取值范围是 ．
5．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
6.不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+23）x+3+4=0
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(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)
7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
8．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
10．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．
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11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是－，求方程②的12根．
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一元二次方程根的判别式 姓名
◆课前预习
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0方程_________；（2）b2－4ac=0方程_________；
（3）b2－4ac<0方程_________．
2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．
◆互动课堂
【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） x2－5x+3=0
（2） x2+22x+2=0；
（3） 3x2+2=4x
（4） mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．
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【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．
【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－1）=0．求证：无论k取什么实数值，2这个方程总有实数根；
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【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个实数根？
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
◆跟进课堂
1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．
2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．
3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．
4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．
5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是_______．
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6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A．x2+2x－1=0 B．x2+23x+3=0
C．x2+2x+1=0 D．－x2+x+2=0
7．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（ ）．A．－1 B．0 C．1
D．2
8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）．
A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=0
9．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）．
A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>1
10．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（ ）．
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
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1.在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A）x2+3x+1=0 （B）4x1=-1 （C）x2+2x+3=0 （D）xx1=x11
2．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是
A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根
C、有两个相等的实数根 D、没有实数根
3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（ ）．
A、1或－4 B、1 C、－4 D、－1或4
24．若关于x的一元二次方程x3xm0有实数根，则m的取值范围是 ．
5．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
6.不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+23）x+3+4=0
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(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)
7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
8．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
10．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．
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11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是－，求方程②的12根．
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